Facsimile di una prova di verifica sulle funzioni (versione 2)

Quesito 1

Nella tabella è rappresentata la relazione tra gli studenti di una classe e i voti ottenuti in una verifica di matematica.

Rispondi ai seguenti quesiti.

1. Utilizza la rappresentazione insiemistica per visualizzare la relazione.
2. La relazione è una funzione? In caso di risposta affermativa, determina dominio, codominio e immagine; stabilisci se è iniettiva, suriettiva o biiettiva.
3. La relazione che associa a ogni voto gli studenti che hanno ottenuto tale voto nella verifica è una funzione? Spiega.
4. Scrivi un esempio di funzione biiettiva a scelta.

Quesito 2

In figura è rappresentato il grafico cartesiano di una funzione quadratica $f$.

Rispondi ai seguenti quesiti.

1. Spiega perché $f$ è una funzione. È iniettiva?
2. Quali sono gli zeri della funzione $f$, ovvero i valori di $x$ per cui $f(x) = 0$?
3. Su quali insiemi la funzione è positiva e su quali è negativa?
4. Su quali intervalli la funzione è crescente? Su quali è decrescente? Qual è il minimo?

Quale tra le seguenti può essere la definizione algebrica di $f$ ?

• (a) $f(x) = -x^2 - 4$
• (b) $f(x) = x^2 - 4$
• (c) $f(x) = -x^2 - 4x$
• (d) $f(x) = x^2 - 4x$
• (e) $f(x) = x^2 + 4x - 4$

Considera ora la funzione $g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}$.

1. Qual è il dominio naturale di $g$ ?
2. Si può determinare il dominio di $g$ senza conoscere la definizione algebrica di $f$ ?

Quiz 1

Una funzione $f$ è monotona su tutto il suo dominio $[2, 4]$. Inoltre è noto che $f(2) = -4$ e $f(4) = -2$. Allora…

• (a) la funzione è crescente.
• (b) la funzione è decrescente.
• (c) la funzione è costante.
• (d) la funzione ha un andamento variabile.
• (e) non è possibile stabilire la crescenza o decrescenza della funzione a partire da i dati forniti, occorre un grafico.

Quiz 2

In figura è rappresentato il dynagraph della funzione $f$

Quali tra le seguenti affermazioni sono corrette?

• (a) La funzione è decrescente per $x < 0$ e crescente su $x > 0$.
• (b) La funzione è $f(x) = 2x - 1$.
• (c) Il grafico cartesiano della funzione è una retta.
• (d) $f(-2) = -7$.
• (e) Nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.

Problema 1 — La batteria del telefono

Alle ore 06:00 di venerdì scolleghi il caricabatterie del tuo telefono. L’indicatore della batteria recita “100%”. Nel corso di venerdì si verificano i seguenti fatti:

• Dopo mezzogiorno, il livello della batteria non torna più a superare l’85%.
• Il telefono viene messo in ricarica dalle ore 20:00 alle 21:00, riportando il livello di carica all’85%.
• Il livello della batteria non scende mai sotto il 35%.
• L’uso più intenso del telefono avviene tra le 15:00 e le 16:00, mentre l’uso meno intenso avviene tra le 08:00 e le 12:00.

Rappresenta il fenomeno con una funzione, specificando dominio, codominio e immagine e se la funzione è iniettiva e/o suriettiva. Rappresenta poi il grafico cartesiano della funzione.

Problema 2 — Veloce come il vento

La velocità del vento non è la medesima a tutte le altitudini. Questo fatto deve essere tenuto in considerazione nella progettazione delle pale eoliche, poiché la differenza nella velocità del vento tra la parte superiore e la parte inferiore della pala può generare un cosiddetto momento torcente e quindi danneggiarne la struttura portante, piegandola.

La velocità del vento può essere definita in funzione dell’altitudine nel modo seguente:

\[v(h) = v_{10} \left( \dfrac{h}{10} \right)^a\]

dove

• $v(h)$ è la velocità del vento all’altitudine $h$ ;
• $v_{10}$ è la velocità del vento all’altitudine di 10 m;
• $a$ è il coefficiente di Hellmann, che dipende dalle condizioni meteorologiche e dalla morfologia del territorio.

Considera una giornata ventosa durante la quale la velocità del vento all’altitudine di 10 m misura 5 m/s e il coefficiente di Hellmann vale 0,2.

• Qual è il dominio della funzione? Interpreta fisicamente il risultato.
• Completa la tabella di input/output.

• Traccia un grafico approssimativo di $v(h)$.
• La funzione è crescente? È decrescente?