Esercizi sulle onde e sulle funzioni circolari

Esercizi, quesiti, quiz e problemi sulle onde e sulle funzioni circolari.

Cosa significano E, F, ecc.? Consulta la [[scala di difficoltà degli esercizi]].

Esercizi

  1. T Determina il periodo di un infrasuono con frequenza $20 \, \text{Hz}$.
  2. E Determina la lunghezza d’onda di un’onda radio con frequenza $200 \, \text{MHz}$ che si propaga nel vuoto (tutte le onde elettromagnetiche si propagano alla velocità della luce).
  3. T Determina il periodo di un’onda sismica con lunghezza d’onda di $3 \, \text{km}$ e velocità di propagazione di $6 \, \text{km/s}$.
  4. T Può esistere un’onda con velocità di propagazione $v = 15 \, \text{m/s}$, lunghezza d’onda $20 \, \text{cm}$ e periodo $T = 6 \, \text{s}$?
  5. E Un’onda ha periodo $T = 3 \, \text{ms}$ e lunghezza d’onda di $3 \, \text{cm}$. Può trattarsi di un’onda sonora.
  6. EE Disegna il grafico delle seguenti funzioni d’onda/funzioni circolari. Per ciascuna determina l’ampiezza e la lunghezza d’onda.
    1. $f(x) = \sin x$
    2. $f(x) = \cos x$
    3. $f(x) = \sin x + 1$
    4. $f(x) = -\sin x$
    5. $f(x) = \cos(-x)$
    6. $f(x) = 2\cos x$
    7. $f(x) = \sin(2x)$
    8. $f(x) = \frac 1 2 \sin(2\pi x)$
    9. $f(x) = \sin(4\pi (x + 1))$
    10. $f(x) = 0.3\cos(3\pi x) + 0.1$
  7. EE Disegna il grafico delle seguenti funzioni d’onda/funzioni circolari. Per ciascuna determina l’ampiezza, il periodo e la frequenza.
    1. $f(t) = \sin (2\pi t)$
    2. $f(t) = \sin(4\pi t) - 4$
    3. $f(t) = 3\sin(\pi t)$
    4. $f(t) = -\cos(100\pi t)$
    5. $f(t) = \sin(-2\pi t)$
  8. EE/F Per ciascuna delle seguenti funzioni d’onda determina ampiezza, lunghezza d’onda, periodo, frequenza e velocità di propagazione.
    1. $f(x, t) = 3\sin\left(2\pi\left(\frac{x - 10t}{3}\right)\right)$
    2. $f(x, t) = \sin\left(2\pi\left(\frac{x}{3} - \frac{t}{0.1}\right)\right) + 0.5$
    3. $f(x, t) = \cos\left(0.1 \pi x \right)$
  9. E Determina ampiezza e lunghezza d’onda dell’onda rappresentata nel grafico. 
    {
  "aspectRatio": "3:1",
  "xlim": [-6.2,6.2],
  "ylim": [-1.45,1.45],
  "axisLabels": ["x",""],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "data": [
 { "fn": "sin(0.5*pi*x)" }
  ]
}
  10. E Determina ampiezza, frequenza e periodo dell’onda rappresentata nel grafico. 
    {
  "aspectRatio": "3:1",
  "xlim": [-0.2,2.2],
  "ylim": [-1.45,1.45],
  "axisLabels": ["t",""],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "data": [
{ "fn": "0.5sin(6*pi*x)" }
  ]
}
  11. EE Scrivi la funzione d’onda $\Delta p(t)$ dell’onda rappresentata nel grafico. 
    {
  "aspectRatio": "3:1",
  "xlim": [-0.2,3.8],
  "ylim": [-1.45,1.45],
  "axisLabels": ["t","∆p"],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "data": [
{ "fn": "0.75*sin(4*pi*x)" }
  ]
}
  12. EE/F Scrivi la funzione d’onda $\Delta p(x, t)$ dell’onda rappresentata nel grafico, sapendo che si propaga alla velocità $v = 100 \, \text{m/s}$. 
    {
  "aspectRatio": "3:1",
  "xlim": [-0.2,3.8],
  "ylim": [-1.45,1.45],
  "axisLabels": ["t","∆p"],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "data": [
{ "fn": "0.75*sin(4*pi*x)" }
  ]
}
  13. F- Scrivi la funzione d’onda $\Delta p(x, t)$ dell’onda rappresentata nel grafico, sapendo che la sua lunghezza d’onda misura $5 \, \text{cm}$. 
    {
  "aspectRatio": "3:1",
  "xlim": [-0.2,3.8],
  "ylim": [-1.45,1.45],
  "axisLabels": ["t","∆p"],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "data": [
{ "fn": "1.2*cos(2*pi*x)" }
  ]
}
  14. EE Qual è la lunghezza d’onda del diapason (La4, frequenza $440 \, \text{Hz}$) se il suono si propaga nell’aria (velocità del suono $v \approx 340 \, \text{m/s}$)? E se si propaga nell’acqua ($v \approx 1500 \, \text{m/s}$)?
  15. F- Scrivi la funzione d’onda $\Delta p(t)$ che rappresenta un La4 avente ampiezza massima di $0.2 \, \text{Pa}$. Assumi che per $t=0$ la perturbazione sia nulla e stia aumentando.
  16. F+ Calcola la frequenza del suono fondamentale prodotto da una corda di chitarra lunga $65 \, \text{cm}$ in cui l’onda si propaga a $400 \, \text{m/s}$.
  17. F+ Calcola la lunghezza minima di un tubo chiuso da un lato (e aperto dall’altro) necessario per produrre una nota con frequenza fondamentale di $100 \, \text{Hz}$ (assumi $v = 340 \, \text{m/s}$).
  18. F Un tubo aperto ad entrambe le estremità è lungo $1.7 \, \text{m}$. Qual è la frequenza fondamentale che produce? E la frequenza della prima armonica successiva?
  19. EE/F Data la funzione d’onda $\Delta p(x) = 2 \sin(\pi x - \frac{\pi}{2}) + 1$, descrivi a parole quali trasformazioni (dilatazioni, traslazioni) devi applicare al grafico elementare di $f(x) = \sin(x)$ per ottenerla.
  20. F+ Descrivi qualitativamente lo spettro di $\Delta p(t) = 4\sin(2\pi \cdot 20 \cdot t) + 2\sin(2\pi \cdot 40 \cdot t)$.
  21. PD- Spiega che tipo di segnale può produrre lo spettro in figura. 
    {
  "aspectRatio": "2:1",
  "xlim": [0, 800],
  "ylim": [0, 4],
  "axisLabels": ["f", "|p^|"],
  "axisUnitMeasures": ["Hz",""],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "boxPlot": true,
  "padding": 60,
  "data": [
{ "fn": "2*exp(-1*(x-200)^2/50)+0.5*exp(-1*(x-450)^2/2000)" }
  ]
}

Quesiti

  1. E Nel grafico di un’onda sonora, quale grandezza fisica può essere rappresentata sull’asse delle ordinate?
  2. EE Descrivi il significato fisico di periodo, frequenza, lunghezza d’onda e velocità di propagazione.
  3. EE Cos’è il suono? Cosa sta “oscillando”?
  4. EE/F Considera la seguente funzione d’onda sonora: $\Delta p(x, t) = A\sin\left(2\pi\left(\dfrac{x - vt}{\lambda}\right)\right)$ Descrivi il significato di tutti i simboli presenti nell’equazione. Spiega se e come questi influiscono sulla nostra percezione del suono.
  5. F Spiega la differenza tra la generazione di un’onda stazionaria su una corda fissata agli estremi e in un tubo chiuso a un’estremità e aperto all’altra. Come cambiano le configurazioni dei nodi?
  6. F Che cos’è il fenomeno dei battimenti? Descrivilo fisicamente e descrivi come può essere prodotto.
  7. PD Osservando lo spettro in frequenza $\mid\hat p\mid$ di un segnale sonoro, come fai a distinguere un suono “puro” (come quello di un diapason) da un suono complesso (come una nota suonata da un pianoforte o una vocale pronunciata)?
  8. PD Se applichi la trasformata di Fourier al suono di un accordo suonato con la chitarra, cosa ti aspetti di osservare nel grafico dello spettro?
  9. EE/F Spiega qual è la differenza tra tracciare il grafico dell’onda in funzione della posizione (fissando il tempo) $\Delta p(x)$ e in funzione del tempo (fissando la posizione) $\Delta p(t)$. Che cosa rappresentano fisicamente i due grafici?

Quiz

  1. EE Associa ogni funzione al suo grafico.
    • (i) $f(x) = 2\sin(x)$
    • (ii) $f(x) = 2\cos(x)$
    • (iii) $f(x) = -\sin(x)$
    • (iv) $f(x) = \cos(-x)$ 
      {
  "aspectRatio": "2:1",
  "xlim": [-6.2,6.2],
  "ylim": [-2.45,2.45],
  "xStep": "pi",
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "2*sin(x)", "color": "red1", "label": "A" },
 { "fn": "-1*sin(x)", "color": "black1", "label": "B" },
 { "fn": "cos(-x)", "color": "red1", "dash": [4,4], "label": "C" },
 { "fn": "2*cos(x)", "color": "black1", "dash": [4,4], "label": "D" }
  ]
}
  2. EE Associa ogni funzione al suo grafico.
    • (i) $f(x) = \sin(x) + 1$
    • (ii) $f(x) = \cos(x + 1)$
    • (iii) $f(x) = \sin(x - 1)$
    • (iv) $f(x) = \cos(x) - 1$ 
      {
  "aspectRatio": "2:1",
  "xlim": [-6.2,6.2],
  "ylim": [-2.45,2.45],
  "xStep": "1",
  "yNumberStep": "1",
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "cos(x)-1", "color": "red1", "label": "A" },
 { "fn": "sin(x-1)", "color": "black1", "label": "B" },
 { "fn": "sin(x)+1", "color": "red1", "dash": [4,4], "label": "C" },
 { "fn": "cos(x+1)", "color": "black1", "dash": [4,4], "label": "D" }
  ]
}
  3. T Qual è la lunghezza dell’onda rappresentata nel grafico?
    • (a) 5
    • (b) 10
    • (c) 15
    • (d) Non è possibile determinarla senza conoscere la velocità di propagazione. 
      {
  "aspectRatio": "3:1",
  "xlim": [-0.2,17.8],
  "ylim": [-0.8,0.8],
  "axisLabels": ["x",""],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "data": [
 { "fn": "0.5*sin(0.2*pi*x)" }
  ]
}
  4. EE Quale dei seguenti grafici descrive qualitativamente lo spettro $\mid\hat p\mid$ dell’onda $\Delta p(t) = 3\sin(2\pi \cdot 440 \cdot t)$?
    • (a) Un grafico con infiniti picchi a tutte le frequenze multiple di $440 \, \text{Hz}$.
    • (b) Un grafico piatto (nessun picco).
    • (c) Un grafico con un singolo picco in corrispondenza della frequenza di $440 \, \text{Hz}$.
    • (d) Un grafico con due picchi, a $440 \, \text{Hz}$ e $880 \, \text{Hz}$.
  5. T Il La4 ha una frequenza di $440 \, \text{Hz}$. Il La5 (un’ottava sopra) ha una frequenza di:
    • (a) $880 \, \text{Hz}$
    • (b) $220 \, \text{Hz}$
    • (c) $441 \, \text{Hz}$
    • (d) $450 \, \text{Hz}$
  6. EE Se sovrapponi due suoni aventi frequenze $f_1 = 300 \, \text{Hz}$ e $f_2 = 305 \, \text{Hz}$, percepirai:
    • (a) Un suono continuo di $605 \, \text{Hz}$.
    • (b) Un battimento.
    • (c) Un suono di $302.5 \, \text{Hz}$ costante.
    • (d) Due suoni nettamente distinti che non interagiscono tra loro.
  7. EE Una funzione d’onda produce uno spettro con due soli picchi, uno a $100 \, \text{Hz}$ e uno a $150 \, \text{Hz}$. Quale tra le seguenti potrebbe esserne l’espressione?
    • (a) $\Delta p(t) = \sin(2\pi \cdot 100 \cdot t) \cdot \sin(2\pi \cdot 150 \cdot t)$
    • (b) $\Delta p(t) = \sin(2\pi \cdot 100 \cdot t) + \sin(2\pi \cdot 150 \cdot t)$
    • (c) $\Delta p(t) = \sin(2\pi \cdot 250 \cdot t)$
    • (d) $\Delta p(t) = 100 \sin(2\pi \cdot 150 \cdot t)$
  8. F- Quale trasformazione devi applicare al grafico di $f(x) = \sin(x)$ per dimezzare il periodo e quindi raddoppiare la frequenza dell’onda?
    • (a) Moltiplicare l’intera funzione per 2, ovvero $2\sin(x)$.
    • (b) Dividere l’intera funzione per 2, ovvero $\frac{1}{2}\sin(x)$.
    • (c) Moltiplicare l’argomento per 2, ovvero $\sin(2x)$.
    • (d) Dividere l’argomento per 2, ovvero $\sin(\frac{x}{2})$.
  9. EE Se dimezzi la lunghezza vibrante di una corda di chitarra (premendo il dito al 12° tasto), la lunghezza d’onda dell’armonica fondamentale:
    • (a) Raddoppia.
    • (b) Dimezza.
    • (c) Rimane invariata.
    • (d) Diventa un quarto.
  10. F- Quale tra queste funzioni d’onda descrive una perturbazione che oscilla costantemente tra i valori $1$ e $5$?
    • (a) $\Delta p(t) = 4\sin(t) + 1$
    • (b) $\Delta p(t) = 2\sin(t) + 3$
    • (c) $\Delta p(t) = 3\sin(t) + 2$
    • (d) $\Delta p(t) = 5\sin(t)$
  11. E Quale delle seguenti funzioni corrisponde al grafico in figura?
    • (a) $f(x) = \sin(2x)$
    • (b) $f(x) = 2\sin(x)$
    • (c) $f(x) = \frac{1}{2}\sin(x)$
    • (d) $f(x) = \sin(x) + 2$ 
      {
"aspectRatio": "3:1",
"xlim": [-6.2, 6.2],
"ylim": [-2.5, 2.5],
"xStep": "pi",
"data": [
{ "fn": "2*sin(x)" }
]
}
  12. EE Associa allo spettro $\mid\hat p\mid$ la sua funzione d’onda. Lo spettro presenta tre picchi di uguale altezza a $200 \, \text{Hz}$, $400 \, \text{Hz}$ e $600 \, \text{Hz}$.
    • (a) $\Delta p(t) = \sin(2\pi \cdot 200 \cdot t) + 2\sin(2\pi \cdot 400 \cdot t) + 3\sin(2\pi \cdot 600 \cdot t)$
    • (b) $\Delta p(t) = \sin(2\pi \cdot 200 \cdot t) + \sin(2\pi \cdot 400 \cdot t) + \sin(2\pi \cdot 600 \cdot t)$
    • (c) $\Delta p(t) = \sin(2\pi \cdot 1200 \cdot t)$
    • (d) $\Delta p(t) = 3\sin(2\pi \cdot 400 \cdot t)$
  13. E Qual è il dominio di $f(x) = 2 \sin(x - 3)$?
    • (a) $\mathbb R$
    • (b) $x > 3$
    • (c) $x \neq 2$
    • (d) $x < \neq -\frac 3 2$
  14. PD Qual è la sua lunghezza d’onda $\lambda$ dell’onda sonora il cui spettro è rappresentato in figura?
    • (a) $2 \, \text{m}$
    • (b) $4 \, \text{m}$
    • (c) $8 \, \text{m}$
    • (d) $10 \, \text{m}$ 
      {
"aspectRatio": "2:1",
"xlim": [0, 200],
"ylim": [0, 3],
"axisLabels": ["f", "|p^|"],
"axisUnitMeasures": ["Hz",""],
"axisLabelStyle": "italic",
"padding": 60,
"boxPlot": true,
"data": [
{ "fn": "2*exp(-1*(x-170)^2)", "color": "red1" }
]
}
  15. T Osserva il grafico della funzione d’onda sonora $\Delta p(t)$. Qual è il suo periodo $T$?
    • (a) $0.5 \, \text{s}$
    • (b) $1.0 \, \text{s}$
    • (c) $1.5 \, \text{s}$
    • (d) $2.0 \, \text{s}$ 
      {
"aspectRatio": "3:1",
"xlim": [-0.2, 2.2],
"ylim": [-1.5, 1.5],
"axisLabels": ["t (s)", "∆p"],
"axisLabelStyle": "italic",
"data": [
{ "fn": "cos(2*pi*x)" }
]
}
  16. T Qual è l’ampiezza dell’onda rappresentata nel grafico?
    • (a) $1.5$
    • (b) $3.0$
    • (c) $6.0$
    • (d) $0.5$ 
      {
"aspectRatio": "3:1",
"xlim": [-3.14, 3.14],
"ylim": [-4.5, 4.5],
"yNumberStep": 1,
"data": [
{ "fn": "3*sin(2*x)" }
]
}
  17. EE Quale funzione ha generato il grafico seguente, sapendo che rappresenta una traslazione verticale?
    • (a) $f(x) = \sin(x) + 2$
    • (b) $f(x) = \sin(x + 2)$
    • (c) $f(x) = 2\sin(x)$
    • (d) $f(x) = \sin(x) - 2$ 
      {
"aspectRatio": "3:1",
"xlim": [-6.2, 6.2],
"ylim": [-0.5, 3.5],
"xStep": "pi",
"data": [
{ "fn": "sin(x) + 2" }
]
}
  18. EE Il grafico seguente rappresenta lo spettro delle frequenze $\mid\hat p \mid$ di un suono. I punti indicano i picchi dello spettro. Quale funzione d’onda $p(t)$ corrisponde a questo spettro?
    • (a) $p(t) = 2\sin(2\pi \cdot 100 \cdot t)$
    • (b) $p(t) = \sin(100 \cdot t) + 2$
    • (c) $p(t) = 100\sin(2\pi \cdot 2 \cdot t)$
    • (d) $p(t) = \sin(2\pi \cdot 200 \cdot t)$ 
      {
"aspectRatio": "2:1",
"xlim": [0, 200],
"ylim": [0, 3],
"axisLabels": ["f", "|p^|"],
"axisUnitMeasures": ["Hz",""],
"axisLabelStyle": "italic",
"boxPlot": true,
"padding": 60,
"data": [
{ "points": [[100, 0], [100, 2]], "type": "interpolation", "smoothness": 0, "color": "red1", "showPoints": false }
]
}
  19. EE Il seguente grafico mostra una perturbazione nel tempo. Quale fenomeno fisico vi si può riconoscere?
    • (a) Un’onda stazionaria.
    • (b) Un battimento.
    • (c) L’effetto Doppler.
    • (d) Un suono puro (singola frequenza). 
      {
"aspectRatio": "3:1",
"xlim": [0, 10],
"ylim": [-2.5, 2.5],
"axisLabels": ["t", "∆p"],
"axisLabelStyle": "italic",
"data": [
{ "fn": "2 * sin(10*x) * cos(0.5*x)" },
{ "fn": "2 * cos(0.5*x)", "color": "red1", "dash": "4,4", "width": 2, "opacity": 0.5 },
{ "fn": "-2 * cos(0.5*x)", "color": "red1", "dash": "4,4", "width": 2, "opacity": 0.5 }
]
}
  20. F+ Considera lo spettro in figura, che presenta due picchi. Quale tra le seguenti funzioni d’onda lo ha generato?
    • (a) $p(t) = 3\sin(2\pi \cdot 10 \cdot t) + 1.5\sin(2\pi \cdot 30 \cdot t)$
    • (b) $p(t) = 1.5\sin(2\pi \cdot 10 \cdot t) + 3\sin(2\pi \cdot 30 \cdot t)$
    • (c) $p(t) = 10\sin(2\pi \cdot 3 \cdot t) + 30\sin(2\pi \cdot 1.5 \cdot t)$
    • (d) $p(t) = 3\sin(2\pi \cdot 10 \cdot t) \cdot 1.5\sin(2\pi \cdot 30 \cdot t)$ 
      {
"aspectRatio": "2:1",
"xlim": [0, 40],
"ylim": [0, 4],
"axisLabels": ["f", "|p^|"],
"axisUnitMeasures": ["Hz",""],
"axisLabelStyle": "italic",
"boxPlot": true,
"padding": 60,
"data": [
{ "points": [[10, 0], [10, 3]], "type": "interpolation", "smoothness": 0, "color": "red1", "showPoints": false },
{ "points": [[30, 0], [30, 1.5]], "type": "interpolation", "smoothness": 0, "color": "red1", "showPoints": false }
]
}
  21. T Trova lunghezza d’onda e ampiezza della perturbazione $\Delta p(x)$ il cui grafico è rappresentato in figura.
    • (a) $\lambda = 6 \, \text{m}$, $A = 1.5$
    • (b) $\lambda = 3 \, \text{m}$, $A = 3$
    • (c) $\lambda = 6 \, \text{m}$, $A = 3$
    • (d) $\lambda = 1.5 \, \text{m}$, $A = 6$ 
      {
"aspectRatio": "3:1",
"xlim": [0, 12],
"ylim": [-2, 2],
"axisLabels": ["x (m)", "∆p"],
"axisLabelStyle": "italic",
"data": [
{ "fn": "1.5 * sin(2*pi/6 * x)" }
]
}
  22. EE Quale funzione corrisponde al grafico seguente?
    • (a) $f(x) = \sin(x)$
    • (b) $f(x) = \cos(x)$
    • (c) $f(x) = \sin(x - \pi/2)$
    • (d) $f(x) = -\sin(x)$ 
      {
"aspectRatio": "3:1",
"xlim": [-3.14, 6.28],
"ylim": [-1.5, 1.5],
"xStep": "pi",
"data": [
{ "fn": "-cos(x)" }
]
}
  23. EE Un’onda viaggia a $10 \, \text{m/s}$, il suo grafico spaziale è rappresentato in figura. Quali sono la sua lunghezza d’onda e frequenza.
    • (a) $\lambda = 2 \, \text{m}$, $f = 5 \, \text{Hz}$
    • (b) $\lambda = 4 \, \text{m}$, $f = 2.5 \, \text{Hz}$
    • (c) $\lambda = 2 \, \text{m}$, $f = 20 \, \text{Hz}$
    • (d) $\lambda = 4 \, \text{m}$, $f = 40 \, \text{Hz}$ 
      {
"aspectRatio": "3:1",
"xlim": [0, 8],
"ylim": [-1.5, 1.5],
"axisLabels": ["x", "∆p"],
"axisLabelStyle": "italic",
"data": [
{ "fn": "sin(pi * x)" }
]
}
  24. T Il grafico mostra la forma spaziale di un’onda stazionaria su una corda lunga $L = 10 \, \text{m}$ (fissata agli estremi a $x=0$ e $x=10$). Qual è la lunghezza d’onda $\lambda$ dell’onda che l’ha generata?
    • (a) $10 \, \text{m}$
    • (b) $5 \, \text{m}$
    • (c) $20 \, \text{m}$
    • (d) $2.5 \, \text{m}$ 
      {
"aspectRatio": "3:1",
"xlim": [-0.2, 10.2],
"ylim": [-1.5, 1.5],
"axisLabels": ["x (m)", ""],
"axisLabelStyle": "italic",
"padding": 45,
"gridOpacity": 0,
"showYAxis": false,
"data": [
{ "fn": "sin(pi/10 * x)", "domain": [0,10] },
{ "points": [[0,0], [10,0]], "radius": 5, "fillColor": "black1" }
]
}
  25. F- Con riferimento all’esercizio precedente, se l’onda si propaga a $66.7 \, \text{m/s}$, qual è la frequenza della terza armonica prodotta dalla corda?
    • (a) Circa $10 \, \text{Hz}$
    • (b) Circa $133.4 \, \text{Hz}$
    • (c) Circa $200 \, \text{Hz}$
    • (d) Circa $30 \, \text{Hz}$
  26. T Associa il grafico della funzione d’onda $\Delta p(x)$ alla corretta equazione.
    • (a) $\Delta p(x) = \cos(2x)$
    • (b) $\Delta p(x) = \sin(2x)$
    • (c) $\Delta p(x) = \sin(0.5x)$
    • (d) $\Delta p(x) = 2\cos(x)$ 
      {
"aspectRatio": "3:1",
"xlim": [-6.28, 6.28],
"ylim": [-1.5, 1.5],
"xStep": "pi",
"axisLabels": ["x", "∆p"],
"axisLabelStyle": "italic",
"data": [
{ "fn": "cos(2*x)" }
]
}

Problemi

La canna dell’organo AD- Un organo a canne possiede tubi di diverse lunghezze per riprodurre l’intera gamma delle note musicali. Considera un tubo chiuso a un’estremità.

  • Sapendo che la nota musicale più bassa che l’organo può riprodurre è un Do1 (circa $32.7 \, \text{Hz}$), qual è la lunghezza del tubo necessario per riprodurre questa nota?
  • Scrivi la funzione d’onda $\Delta p(x)$ dell’armonica fondamentale all’interno del tubo, sapendo che nell’estremità aperta ($x = 0$) la variazione di pressione è nulla (nodo di pressione) e nell’estremità chiusa ($x = L$) è massima (antinodo di pressione). Assumi un’ampiezza massima arbitraria $A$.

Sintetizzatore analogico AD+ Stai programmando un sintetizzatore analogico in cui puoi sommare diverse onde sinusoidali pure per creare nuovi timbri.

  • Vuoi creare un suono che abbia un’onda fondamentale a $440 \, \text{Hz}$ con ampiezza $1$, la prima armonica superiore (il doppio della frequenza) con ampiezza $0.5$ e la seconda armonica superiore (il triplo della frequenza) con ampiezza $0.25$. Scrivi la funzione d’onda $p(t)$ risultante.
  • Traccia un grafico approssimativo dello spettro delle frequenze $\mid\hat p\mid$ che ti aspetti di vedere per questo suono. Dove si trovano i picchi e quanto sono alti?
  • Come cambierebbe lo spettro se raddoppiassi il volume di tutte le componenti? E se traslassi il grafico della funzione d’onda verticalmente aggiungendo una costante? Cosa rappresenterebbe fisicamente la costante?
  • Se aggiungi al tuo sintetizzatore un’ulteriore onda pura avente frequenza di $442 \, \text{Hz}$ e ampiezza $1$, cosa percepirà un ascoltatore nel tempo? Descrivi il fenomeno dal punto di vista fisico.

Sulle corde di una chitarra PD Pizzicando la sesta corda (Mi basso) l’accordatore rileva $82.4 \, \text{Hz}$. La lunghezza della corda dal ponte al capotasto è di $648 \, \text{mm}$.

  • Qual è la lunghezza d’onda dell’armonica fondamentale che si instaura sulla corda?
  • A quale velocità si propagano le onde lungo la corda per produrre questa specifica nota?
  • Premi la corda al 12° tasto, dimezzandone esattamente la lunghezza vibrante. Qual è la nuova frequenza prodotta? La velocità di propagazione dipende solo dalle proprietà fisiche della corda (tensione e densità lineare), non dalla sua lunghezza.

Il sonar PD+ Un sottomarino emette un segnale sonar (un’onda sonora nell’acqua) con una frequenza di $30 \, \text{kHz}$. Il segnale è definito dalla funzione $\Delta p(t) = A\sin(2\pi \cdot 30000 \cdot t)$.

  • Qual è il periodo di questa onda in secondi e in millisecondi?
  • L’onda sonora viaggia nell’acqua a circa $1500 \, \text{m/s}$. Qual è la lunghezza d’onda di questo segnale?
  • C’è un motivo fisico (o pratico) per cui i sonar utilizzano frequenze così elevate (ultrasuoni) rispetto alle normali basse frequenze udibili? Fai riferimento alla lunghezza d’onda appena calcolata e pensa alla capacità dell’onda di “distinguere” piccoli ostacoli.
  • Scrivi la funzione d’onda spaziale $\Delta p(x)$ che descrive il segnale in un determinato istante di tempo, assumendo un’ampiezza $A = 100 \, \text{Pa}$.
Dobbiamo sapere, sapremo! - D. Hilbert