Esercizi su composizione di funzioni

Esercizi, quesiti, quiz e problemi sulla composizione di funzioni.

Cosa significano E, F, ecc.? Consulta la [[scala di difficoltà degli esercizi]].

Esercizi

1. E Determina il dominio delle seguenti funzioni composte.
   1. $f(x) = \ln(x^2 - 4)$
   2. $f(x) = \sqrt{1 - e^x}$
   3. $f(x) = e^{\sqrt{x + 2}}$
   4. $f(x) = \dfrac{1}{\ln(x - 1)}$
   5. $f(x) = \ln(\ln x)$
   6. $f(x) = \sqrt{\sin x}$
   7. $f(x) = \arcsin(2x - 1)$
   8. $f(x) = \ln(1 - x^2)$
   9. $f(x) = e^{\frac{1}{x^2 - 1}}$
   10. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$ Soluzione: 1. $x < -2 \lor x > 2$; 2. $x \le 0$; 3. $x \ge -2$; 4. $x > 1 \land x \neq 2$; 5. $x > 1$; 6. $2k\pi \le x \le (2k+1)\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$; 7. $0 \le x \le 1$; 8. $-1 < x < 1$; 9. $x \neq \pm 1$; 10. $x < 1 \lor x > 2$
2. E Calcola i seguenti limiti di funzioni composte.
   1. $\lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{1}{x}\right)$
   2. $\lim_{x \to -\infty} e^{x^3}$
   3. $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{-\ln x}$
   4. $\lim_{x \to +\infty} \arctan(e^x)$
   5. $\lim_{x \to 0} e^{-\frac{1}{x^2}}$
   6. $\lim_{x \to +\infty} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$
   7. $\lim_{x \to 0} \ln(1 + x^2)$
   8. $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\ln(x)}$
   9. $\lim_{x \to 1^-} e^{\frac{1}{x-1}}$
   10. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 4x}$ Soluzione: 1. $-\infty$; 2. $0$; 3. $+\infty$; 4. $\pi/2$; 5. $0$; 6. $0$; 7. $0$; 8. $0^+$; 9. $0$; 10. $+\infty$
3. PD Traccia un grafico approssimativo delle seguenti funzioni composte ragionando sul dominio, i limiti e la monotonia, come visto a lezione. Verificare la correttezza delle risposte usando Desmos.
   1. $f(x) = e^{-x^2}$
   2. $f(x) = \ln(x^2 + 1)$
   3. $f(x) = \ln(x^2)$
   4. $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
   5. $f(x) = \dfrac{1}{\ln(x)}$
   6. $f(x) = e^{\frac 1 x}$
   7. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$
   8. $f(x) = \sqrt{x^3 - x}$
   9. $f(x) = (\sin x)^2$ per $x \in (0, 2\pi)$
   10. $f(x) = \sqrt{\sin x}$
   11. $f(x) = \ln(\sin x)$
   12. $f(x) = (\sin x)^3$ per $x \in (0, 2\pi)$
   13. $f(x) = e^{\ln x}$
   14. $f(x) = \ln e^x$
   15. $f(x) = \arctan \frac 1 x$
   16. $f(x) = \arctan x^2$ Soluzione: Omissis. Si consiglia di verificare i grafici qualitativi con l’uso di software (es. GeoGebra o Desmos), prestando attenzione in particolare a come il codominio della funzione interna definisca l’input della funzione esterna.
4. D Siano $g(x) = x^2 + k$ e $f(x) = \ln(x)$. Spiega a parole come varia il grafico di $h(x) = f(g(x))$ al variare di $k$. Soluzione: L’argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi $x^2 + k > 0$. Se $k > 0$, il dominio è tutto $\mathbb{R}$, c’è un minimo in $x=0$ di valore $\ln(k)$ e per $|x| \to \infty$ diverge a $+\infty$. Se $k = 0$, c’è un asintoto verticale in $x=0$. Se $k < 0$, il dominio è diviso in due rami separati (per $|x| > \sqrt{-k}$) e ci sono due asintoti verticali.
5. F Data la composizione $f(x) = e^{g(x)}$, traccia il grafico approssimato di $f$ se il grafico della funzione interna $g(x)$ è una retta decrescente che passa per l’origine. Soluzione: Essendo $g(x) = -mx$ (con $m>0$), per $x \to -\infty$, $g \to +\infty \implies f \to +\infty$. Per $x=0$, $g(0)=0 \implies f(0)=1$. Per $x \to +\infty$, $g \to -\infty \implies f \to 0$ (asintoto orizzontale). L’esponenziale preserva la monotonia, quindi la funzione composta $f(x)$ sarà sempre decrescente.
6. E Utilizzando la regola di derivazione delle funzioni composte (chain rule), calcola la derivata prima delle seguenti funzioni.
   1. $f(x) = (3x^2 + 1)^4$
   2. $f(x) = e^{-2x}$
   3. $f(x) = \ln(\sin x)$
   4. $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ Soluzione: 1. $24x(3x^2 + 1)^3$; 2. $-2e^{-2x}$; 3. $\cot x$; 4. $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$
7. EE Data $f(x) = \ln(x^2 + 4)$, calcola $f’(x)$ e studia il segno della derivata per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza. Soluzione: $f’(x) = \frac{2x}{x^2 + 4}$. Poiché il denominatore è sempre positivo, il segno della derivata dipende solo dal numeratore. $f’(x) > 0$ per $x > 0$. La funzione è decrescente per $x \in (-\infty, 0)$ e crescente per $x \in (0, +\infty)$, con un minimo locale in $x = 0$.
8. E Date le funzioni $f(x) = x^2 - 1$ e $g(x) = 2x + 3$, calcola:
   1. $f(g(1))$
   2. $g(f(1))$
   3. $f(f(-1))$
   4. $g(g(0))$ Soluzione: 1. $g(1) = 5 \implies f(5) = 24$; 2. $f(1) = 0 \implies g(0) = 3$; 3. $f(-1) = 0 \implies f(0) = -1$; 4. $g(0) = 3 \implies g(3) = 9$

Quesiti

1. AD Ipotizza di star lavorando con un software di elaborazione di segnali a blocchi in cui ogni “blocco” riceve un segnale, lo trasforma matematicamente e lo passa al successivo. Hai un blocco “Oscillatore” che produce nel tempo valori compresi tra $-1$ e $+1$ (ad esempio una sinusoide). Colleghi la sua uscita all’ingresso di un blocco “Valore Assoluto” ($\mid x \mid$), e l’uscita di quest’ultimo all’ingresso di un blocco “Esponenziale” (che calcola $e^{\text{input}}$). Quali saranno i valori minimi e massimi del segnale in uscita dall’intero sistema? Soluzione: poiché $e^x$ è crescente, il valore minimo in uscita sarà $e^0 = 1$ (quando l’oscillatore passa per zero) e il valore massimo sarà $e^1 = e \approx 2{,}71$ (quando l’oscillatore raggiunge $+1$ o $-1$); l’output finale oscillerà quindi in modo continuo tra $1$ ed $e$.
2. F Considera una funzione composta $h(x) = f(g(x))$. Ragionando sugli input e gli output, spiega in modo intuitivo perché se la funzione esterna $f$ è sempre decrescente, allora $h$ sarà decrescente dove $g$ è crescente, e $h$ sarà crescente dove $g$ è decrescente (ovvero, “inverte” la monotonia della funzione interna). Soluzione: Se $g$ cresce (all’aumentare di $x$, aumenta il suo output), la funzione esterna $f$ riceverà un input via via sempre più grande. Poiché $f$ è decrescente, restituirà un output finale sempre più piccolo, rendendo $h$ decrescente. Viceversa, dove $g$ decresce, fornisce input più piccoli ad $f$, che reagirà restituendo output più grandi, rendendo $h$ crescente.
3. PD Spiega a parole perché il dominio della funzione composta $h(x) = \sqrt{\ln(x)}$ non è semplicemente l’intervallo $(0, +\infty)$, nonostante la funzione $\ln(x)$ accetti regolarmente in ingresso tutti i numeri reali positivi. Soluzione: $\ln(x)$ accetta certamente valori in ingresso $x > 0$; tuttavia, se l’output generato da questa funzione diventa negativo, non sarà possibile calcolare $\sqrt{\text{input}}$. L’output di $\ln(x)$ è negativo ogni volta che diamo in ingresso un numero $0 < x < 1$. Per questo il dominio finale è $[1, +\infty)$.
4. T Spiega con un esempio numerico o algebrico perché la composizione di funzioni non è in generale commutativa, ovvero perché $f(g(x)) \neq g(f(x))$. Soluzione: Siano $f(x) = x^2$ e $g(x) = x + 1$. Componendo si ha $f(g(x)) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$, mentre invertendo l’ordine si ottiene $g(f(x)) = x^2 + 1$. Le due espressioni sono evidentemente diverse.
5. F Se sai che una funzione $f$ è sempre crescente e una funzione $g$ è sempre decrescente, cosa puoi dedurre sul grafico della funzione composta $h(x) = f(g(x))$? Motiva la risposta. Soluzione: Siano $x_1 < x_2$. Poiché $g$ decresce, si ha $g(x_1) > g(x_2)$. Poiché $f$ cresce (e quindi preserva l’ordinamento), applicandola si ottiene $f(g(x_1)) > f(g(x_2))$, ovvero $h(x_1) > h(x_2)$. Quindi la funzione composta è sempre decrescente.
6. PD Una funzione composta $h(x) = f(g(x))$ presenta un asintoto verticale in $x = x_0$. Questo può essere causato da due situazioni distinte che coinvolgono il comportamento di $g$ e di $f$. Quali sono? Fornisci un esempio concreto per ciascun caso. Soluzione: Caso 1: La funzione interna ha un asintoto verticale in $x_0$ e la funzione esterna lo preserva. Esempio: $h(x) = e^{1/x}$ in $x_0=0$. Caso 2: La funzione interna assume un valore finito in $x_0$, ma la funzione esterna non è definita e presenta un asintoto verticale per tale valore di input. Esempio: $h(x) = \ln(x - 2)$ in $x_0=2$, dove $g(2)=0$ e $\ln(0^+)$ diverge a $-\infty$.

Quiz

1. F+ Nel grafico è rappresentata la funzione $f$. Sull’intervallo $x \in (1, 2)$ la funzione composta $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ è
   • (a) crescente.
   • (b) decrescente.
   • (c) prima crescente, poi decrescente.
   • (d) prima decrescente, poi crescente.
   • (e) costante.

     {
       "aspectRatio": "2:1",
       "xlim": [-1.9,3.9],
       "ylim": [-1.45,1.45],
       "data": [
      { "fn": "sin(pi*x)", "domain": [-2,4] }
       ]
     }
     

     Soluzione: (c)

2. PD- Quale delle seguenti affermazioni relative a $f(x) = \sqrt{e^{-x}}$ è corretta?
   • (a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
   • (b) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$
   • (c) È crescente.
   • (d) $\textrm{dom} f = (0, +\infty)$ Soluzione: (a)
3. EE Hai una catena di due funzioni $f(g(x))$. Sai che per $x \to +\infty$, $g(x)$ tende a $-\infty$. Sai inoltre che $\lim_{y \to -\infty} f(y) = 5$ e $\lim_{y \to +\infty} f(y) = -5$. Quale sarà il limite per $x \to +\infty$ della funzione composta complessiva $f(g(x))$?
   • (a) $-\infty$
   • (b) $+\infty$
   • (c) $5$
   • (d) $-5$
   • (e) Non ci sono dati sufficienti per determinarlo. Soluzione: (c)
4. F+ La funzione esterna di una composizione è un elevamento al quadrato, cioè $f(y) = y^2$. Come si comporterà il grafico della funzione composta $h(x) = f(g(x))$ se la funzione interna $g(x)$ passa gradualmente da valori positivi a valori negativi (ad esempio attraversando lo zero nel punto $x=0$)?
   • (a) La funzione composta assumerà valori negativi, attraversando anch’essa l’asse $x$.
   • (b) La funzione composta toccherà l’asse $x$ formando un minimo locale in $x=0$, assumendo solo valori positivi.
   • (c) La funzione composta si trasformerà in una retta.
   • (d) La funzione composta non sarà definita per i valori negativi prodotti da $g(x)$. Soluzione: (b)
5. EE Date $f(x) = e^x$ e $g(x) = -x$, la funzione composta $h(x) = f(g(x))$ è:
   • (a) Sempre crescente
   • (b) Sempre decrescente
   • (c) Pari
   • (d) Non ammette limiti Soluzione: (b)
6. F Considera le funzioni $f$ e $g$ i cui grafici sono mostrati in figura. Quanto vale la composizione $f(g(0))$?
   • (a) $0$
   • (b) $1$
   • (c) $2$
   • (d) $-1$

     {
       "aspectRatio": "2:1",
       "xlim": [-2.9, 2.9],
       "ylim": [-1.9, 2.9],
       "legend": true,
       "labelStyle": "italic",
       "data": [
      { "fn": "x+1", "color": "red1", "domain": [-3, 3], "label": "f" },
      { "fn": "x^2", "color": "black1", "domain": [-3, 3], "label": "g" }
       ]
     }
     

     Soluzione: (b)

7. T Siano $f(x)$ e $g(x)$ entrambe funzioni strettamente decrescenti su tutto $\mathbb{R}$. La funzione composta $h(x) = f(g(x))$ sarà:
   • (a) Sempre decrescente
   • (b) Sempre crescente
   • (c) Costante
   • (d) Può essere sia crescente che decrescente a tratti Soluzione: (b)
8. F Se $f(x) = \ln(x)$ e $g(x) = x^2 + 1$, quale affermazione riguardante $h(x) = f(g(x))$ è falsa?
   • (a) Il suo dominio è tutto $\mathbb{R}$
   • (b) È una funzione pari
   • (c) $h(0) = 0$
   • (d) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -\infty$ Soluzione: (d)
9. PD- Dal grafico della funzione interna $f(x)$ in figura, deduci quale delle seguenti funzioni composte presenta un asintoto verticale in $x=0$.
   • (a) $e^{f(x)}$
   • (b) $\ln(f(x))$
   • (c) $\sqrt{f(x)}$
   • (d) $\sin(f(x))$

     {
       "aspectRatio": "2:1",
       "xlim": [-2.9, 2.9],
       "ylim": [-1.9, 2.9],
       "legend": true,
       "labelStyle": "italic",
       "data": [
      { "fn": "x^2", "color": "black1", "domain": [-3, 3], "label": "f" }
       ]
     }
     

     Soluzione: (b)

10. F+ Data $h(x) = f(g(x))$, sai che in un punto $x=2$ la derivata interna vale $g’(2) = 0$ e la derivata esterna vale $f’(g(2)) = 4$. Quanto vale la derivata della composizione $h’(2)$?
    • (a) $4$
    • (b) $2$
    • (c) $0$
    • (d) Non si può stabilire con questi soli dati Soluzione: (c)
11. F La funzione $f(x)$ ha come dominio l’intervallo $(-\infty, 0]$. Qual è il dominio della funzione traslata $f(x-2)$?
    • (a) $(-\infty, 2]$
    • (b) $(-\infty, -2]$
    • (c) $[-2, 0]$
    • (d) Nessuna delle precedenti Soluzione: (a)
12. F+ Siano $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = \sin(x)$. Qual è il dominio della composizione $f(g(x))$ se ci si restringe all’intervallo originario $[0, 2\pi]$?
    • (a) $[0, 2\pi]$
    • (b) $[0, \pi]$
    • (c) $[\pi, 2\pi]$
    • (d) Solo i punti isolati $0$, $\pi$ e $2\pi$ Soluzione: (b)
13. F+ Nel grafico sono rappresentate le funzioni derivate prime $f’(x)$ e $g’(x)$. In $x=1$, cosa possiamo dedurre per la funzione composta $h(x) = f(g(x))$, sapendo che $g(1) = -2$?
    • (a) $h(x)$ ha un punto stazionario (ad es. un picco massimo o minimo)
    • (b) $h(x)$ è strettamente crescente
    • (c) $h(x)$ è strettamente decrescente
    • (d) $h(x)$ presenta un punto di non derivabilità

      {
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      "xlim": [-3.9, 3.9],
      "ylim": [-1.9, 1.9],
      "legend": true,
      "labelStyle": "italic",
      "data": [
      { "fn": "-0.5*x", "color": "red1", "domain": [-4, 4], "label": "f'" },
      { "fn": "x^2-1", "color": "black1", "domain": [-4, 4], "label": "g'" }
      ]
      }
      

      Soluzione: (a)

14. PD- Sia $h(x) = \ln(x^2+a)$. Affinché il dominio di $h(x)$ risulti esteso a tutto $\mathbb{R}$, quale condizione deve soddisfare il parametro reale $a$?
    • (a) $a \ge 0$
    • (b) $a > 0$
    • (c) $a < 0$
    • (d) Nessun valore di $a$ lo permette Soluzione: (b)

Problemi

Il Processore di Segnale PD Stai progettando l’algoritmo per un modulo di elaborazione digitale del segnale. Il segnale in ingresso al sistema è il tempo $x$ (in millisecondi, con $x \geq 0$). Il segnale attraversa in sequenza due stadi operativi:

1. Il primo stadio è un inviluppo che modula un valore nel tempo seguendo la legge $g(x) = \dfrac{100}{x + 10}$.
2. Il secondo stadio è una distorsione logaritmica che riceve il segnale dallo stadio precedente e vi applica la funzione $f(y) = \ln(y)$.

Rispondi ai seguenti quesiti.

• Scrivi l’espressione analitica della funzione composta $h(x) = f(g(x))$ che modella il segnale in uscita dall’intero processore.
• Qual è il valore del segnale in uscita all’istante iniziale $x=0$?
• Usando il concetto di composizione tra funzioni, e senza calcolare alcuna derivata, stabilisci se l’uscita $h(x)$ è via via crescente o decrescente al trascorrere del tempo.
• Quanto vale il segnale a lunghissimo termine (calcola il limite per $x \to +\infty$)? Spiega il risultato ottenuto ragionando stadio per stadio. Soluzione: $h(x) = \ln\left(\frac{100}{x + 10}\right)$. Per $x=0$, $h(0) = \ln(10) \approx 2{,}3$. Poiché $g(x)$ decresce e $\ln(y)$ è crescente (preserva l’ordine), $h(x)$ risulta decrescente. Per $x \to +\infty$, $g \to 0^+$, quindi $h(x) \to -\infty$.

Grafico in due step PD+ Considera la composizione $h(x) = f(g(x))$, ottenuta concatenando la funzione interna polinomiale $g(x) = x^2 - 4x + 3$ e la funzione esterna iperbolica $f(y) = \dfrac{1}{y}$. Traccia il grafico approssimativo di $h(x)$ (focalizzandoti su dominio, limiti e crescenza) ragionando esclusivamente per stadi e seguendo questa scaletta logica:

• Individua la forma di $g(x)$ (una parabola): trovane le intersezioni con gli assi e il vertice.
• Considera i punti in cui l’output di $g(x)$ si annulla: cosa comporteranno questi valori nulli quando verranno immessi nella funzione esterna $f(y)$? Quale sarà, di conseguenza, il dominio finale di $h$?
• Studia i limiti per $x \to \pm\infty$ e i limiti in prossimità dei punti di discontinuità.
• Deduci la crescenza e la decrescenza della funzione composta $h(x)$ a partire dalle sole pendenze della parabola $g(x)$ combinandole con il comportamento di $f(y)$. Soluzione: 1) $g(x)$ è una parabola verso l’alto: zeri in $x=1,3$, vertice $V(2,-1)$. 2) Essendo $f(y)=1/y$, gli zeri di $g$ diventano asintoti verticali per $h$. Dominio: $\mathbb{R} \setminus {1, 3}$. 3) Per $x \to \pm\infty$, $g \to +\infty \implies h \to 0^+$. Per $x \to 1^-$, $g \to 0^+ \implies h \to +\infty$; per $x \to 1^+$, $g \to 0^- \implies h \to -\infty$ (simile per $x=3$). 4) $g$ decresce per $x<2$ e cresce per $x>2$. Essendo $f(y)$ decrescente (inverte l’ordine), $h$ cresce per $x<2$ e decresce per $x>2$. In $x=2$ c’è un massimo locale pari a $-1$.