Esercizi introduttivi sulle funzioni

Quesiti, quiz e problemi sulle funzioni, con focus sugli elementi introduttivi (identificazione di funzioni, determinazione di dominio naturale e immagine, realizzazione di semplici grafici, crescenza/decrescenza, zeri).

Cosa significano E, F, ecc.? Consulta la [[scala di difficoltà degli esercizi]].

Quesiti

  1. E Stabilisci se ciascuna delle seguenti relazioni è una funzione. In caso di risposta affermativa, determina dominio, codominio e immagine della funzione e stabilisci se è iniettiva, suriettiva o biiettiva. Rappresenta la funzione con la corretta notazione.
    1. La relazione tra l’insieme di tutte gli istituti scolastici italiani e l’insieme di tutti i possibili indirizzi, che associa ad ogni scuola l’indirizzo della propria sede.
    2. La relazione tra l’insieme di tutte gli istituti scolastici italiani e l’insieme di tutti i possibili indirizzi, che associa ad ogni scuola gli indirizzi della propria sede e delle eventuali succursali.
    3. La relazione tra l’insieme dei clienti di un negozio online e l’insieme degli ordini effettuati presso il negozio, che associa a ogni cliente gli ordini effettuati.
    4. La relazione tra l’insieme degli ordini effettuati presso un negozio online e l’insieme di tutti i possibili indirizzi, che associa a ogni ordine l’indirizzo di spedizione.
    5. La relazione tra l’insieme di tutte le specie animali e l’insieme di tutte le famiglie, che associa ad ogni specie la propria famiglia.
    6. La relazione tra l’insieme di tutte le famiglie animali e l’insieme di tutte le specie, che associa ad ogni famiglia tutte le specie che ne fanno parte.
    7. La relazione tra l’insieme di tutte le specie animali e l’insieme di tutte le nomenclature binomiali (e.g. Canis lupus, Felis catus), che associa ad ogni specie la propria nomenclatura binomiale.
    8. La relazione tra l’insieme dei punti del piano e se stesso, che associa ad ogni punto il punto corrispondente in seguito a una traslazione.
    9. La relazione tra l’insieme dei punti del piano e $\mathbb{R}^2$ (insieme delle coppie ordinate di numeri $(x, y)$), che associa a ogni punto del piano le proprie coordinate.
    10. La relazione tra $\mathbb{R}$ e l’insieme dei punti del piano, che associa a ogni numero reale $x$ i punti che si trovano ad una distanza $x$ dall’origine.
  2. E Per ciascuna delle seguenti funzioni, scrivi la definizione algebrica utilizzando la giusta notazione, determina dominio naturale e immagine, realizza un dynagraph e un grafico cartesiano.
    1. La funzione che associa ad ogni numero reale il numero reale ottenuto addizionando 5 a $x$.
    2. La funzione che associa a ogni numero naturale $x$ il numero naturale doppio di $x$.
    3. La funzione che associa a ogni numero reale $x$ il numero reale ottenuto addizionando 5 al doppio di $x$.
    4. La funzione che associa a ogni numero reale $x$ il quadrato di $x$ aumentato di 1.
  3. EE/F Definisci algebricamente la funzione che associa a ogni numero sulla retta dei numeri reali la sua distanza da zero. Determina dominio, codominio e immagine della funzione. Realizza un dynagraph e un grafico cartesiano.
  4. F- Definisci algebricamente la funzione che associa a ogni punto del piano cartesiano la propria distanza dall’origine. Determina dominio, codominio e immagine della funzione. È possibile realizzare un grafico cartesiano di tale funzione?
  5. T Qual è il dominio della funzione il cui grafico è rappresentato in figura? funzioni-1-dominio_radice
  6. EE Determina il dominio naturale delle seguenti funzioni, rappresenta sul grafico gli intervalli di definizione, quindi verifica le risposte usando Desmos, GeoGebra o software simili.
    1. $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$
    2. $f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 2}$
    3. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 2}}$
    4. $f(x) = 3 \cdot \ln(x - 2)$
    5. $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 8}$
    6. $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 8}$
    7. $f(x) = \sqrt{2 - 2x^2}$
    8. $f(x) = \sqrt[3]{3 - 3x^3}$
    9. $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^3}}{x^2}$
    10. $f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 5}$
    11. $f(x) = \dfrac{3}{x(x + 1)(x + 2)}$
    12. $f(x) = \sqrt{7x} - 7$
    13. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{g(x)}}$, dove $g(x) = \dfrac{1}{x}$
    14. $f(x) = \sqrt{g(x) - 3}$, dove $g(x) = x^3 + 3$
  7. E In figura è rappresentato il grafico della funzione $f$. Quante sono le soluzioni dell’equazione $f(x) = 2$. funzioni-5-soluzioni
  8. F- In figura è rappresentato il grafico della funzione $f$. Determina il dominio di $g(x)=\log_2 f(x)$. funzioni-7-dominio
  9. F+ In figura è rappresentato il grafico della funzione $f$. Determina il dominio di $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$. funzioni-8-dominio
  10. Scrivi due verità e una menzogna in merito alla funzione $f$ il cui grafico è rappresentato in figura. funzioni-due_verità
  11. Scrivi due verità e una menzogna in merito alla funzione $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x^2 + 1}$.
  12. Per ciascuna delle seguenti funzioni, descrivi un fenomeno da esse modellizzato:
    1. $f(t) = 20 \cdot 3^t$;
    2. $f(x) = -2x + 3$;
    3. $f(t) = 0{,}5 \cdot \sin(20t)$.
  13. Descrivi un fenomeno che possa essere modellizzato dalla funzione il cui grafico è rappresentato in figura. funzioni-10-fenomeno
  14. F Una funzione strettamente crescente sul suo dominio è invertibile?
  15. F+ Una funzione invertibile è strettamente crescente sul suo dominio?
  16. D Si può costruire una biiezione tra $[0, 1]$ e $(0, 1)$? Ovvero, $[0, 1]$ e $(0, 1)$ hanno la stessa cardinalità? Se sì, come? Se no, perché?
  17. PD- Costruisce una biiezione tra $[1, 2]$ e $[1, 100]$.
  18. E Di seguito sono riportati i grafici cartesiani di alcune relazioni. Identifica quali di queste relazioni sono funzioni e, tra le funzioni, stabilisci quali sono iniettive.
    1. Grafico 1
    2. Grafico 2
    3. Grafico 3
    4. Grafico 4
    5. Grafico 5
    6. Grafico 6

Quiz

  1. F La funzione è strettamente decrescente sull’intervallo $[0, 5]$. Allora…
    • (a) $f(2) = 5$, $f(4) = 1$.
    • (b) $f(0) = 0$, $f(5) = 1$.
    • (c) $f(2) = -5$, $f(4) = -1$.
    • (d) $f(0) = -5$, $f(5) = 1$.
  2. F La funzione $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è monotona sul suo insieme di definizione. Inoltre, $f(-2) = -4$ e $f(-1) = 3$. Allora…
    • (a) la funzione è crescente.
    • (b) la funzione è decrescente.
    • (c) la funzione è costante.
    • (d) non si può determinare se la funzione sia crescente e decrescente.
  3. F La funzione $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è tale che $f(-1) = 0$ e $f(1) = 0$. Allora, sull’intervallo $[-1, 0]$, …
    • (a) la funzione è crescente.
    • (b) la funzione è decrescente.
    • (c) la funzione è costante.
    • (d) non si può determinare se la funzione sia crescente e decrescente.
  4. F+ In figura è rappresentato il grafico della funzione $f(x)= cos(x)$. Quante soluzioni ha l’equazione $cos(x) - \frac 1 2 x = 0$?
    • (a) 0
    • (b) 1
    • (c) 2
    • (d) Infinite funzioni-4-equazione_coseno
  5. F- Una funzione $f(x)$ è definita in $\mathbb{R}$ e ha come insieme immagine l’intervallo $[0; 1]$. Quale delle seguenti equazioni non ha soluzione?
    • (a) $f(x) = \dfrac 1 2$
    • (b) $f(x) = 2$
    • (c) $f(x) = 0$
    • (d) $f(x) = 1$
  6. PD Considera la funzione reale di variabile reale $f(x) = \sqrt{x^2 + 16}$. L’equazione $f(x) = k$ ha…
    • (a) zero soluzioni per qualsiasi valore di $k$.
    • (b) una soluzione se $k = 5$.
    • (c) una soluzione se $k = 4$.
    • (d) zero soluzioni se $k = 5$.
  7. PD+ Le due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ rappresentano due parabole nel piano cartesiano. Sappiamo che $f(x) \geq 0$ per $x \leq 2 \lor x \geq 8$, mentre $g(x) \geq 0$ per $x \leq -1 \lor x \geq 5$. Qual è il dominio della funzione $h(x) = \dfrac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}$?
    • (a) $x < -1 \lor x \geq 8$
    • (b) $x < -1 \lor -1 < x \leq 2 \lor x \geq 8$
    • (c) $x < -1 \lor -1 < x < 2 \lor x > 8$
    • (d) $x \neq -1 \land x \neq 5$
  8. F La magnitudine apparente $m$ di una stella di luminosità $L$ è definita tramite la funzione $m(L) = -2{,}5 \log_{10}\left(\dfrac L {L_0}\right)$, dove $L_0$ è la luminosità di una stella di riferimento. Qual è la magnitudine apparente della stella di riferimento, cioè della stella con luminosità $L_0$?
    • (a) 1
    • (b) 0
    • (10) 10
    • (d) -2,5
  9. F+ Il polinomio $x^3+x^2−2x$ si può scomporre nella forma $x(x−1)(x+2)$. Quante sono le intersezioni del grafico della funzione $f(x)=x^3+x^2−2x$ con l’asse delle ascisse?
    • (a) 1
    • (b) 2
    • (c) 3
    • (d) Nessuna
  10. EE/F In figura sono rappresentati i grafici di $f$ (in rosso) e $g$ (in nero). Quali tra le seguenti affermazioni sono corrette? Più di una può essere corretta.
    • (a) $f(x) > g(x)$ se $-10 < x < 10$.
    • (b) $f(-10) + g(10) = 0$.
    • (c) $f(0) + g(0) > 0$.
    • (d) $f(x) \cdot g(x) \leq 0$ se $-15 < x < 15$. funzioni-6-due_funzioni

Problemi

Speriamo in bene… EE Realizza un grafico della speranza di vita in Italia a partire dal 1900 (il sito Our world in data è un’ottima fonte per reperire i dati necessari). Scegli ogni quanti anni campionare il valore della speranza di vita, motivando tale scelta. 1. Il grafico ottenuto rappresenta quale funzione? Quali sono dominio, codominio e immagine? 2. Quali sono le caratteristiche del grafico (crescenza, decrescenza, massimi e minimi)? 3. Cosa si può dedurre dal grafico?

Tanti fagiani F In una riserva naturale è stata programmata un’azione di ripopolamento di fagiani. Il numero di fagiani nel tempo $t$ cresce esponenzialmente secondo una legge del tipo $f(t)=a \cdot b^t$, dove $f$ è il numero di mesi trascorsi e $t$ è il numero di fagiani. L’andamento della funzione è mostrato in figura. 1. Quanti fagiani erano presenti inizialmente? 2. Dopo quanti mesi i fagiani hanno raggiunto le 90 unità? funzioni-2-fagiani

Il serbatoio E Per svuotare un serbatoio d’acqua inizialmente pieno si apre un rubinetto. Il grafico mostra l’andamento della quantità d’acqua nel serbatoio in funzione del tempo dal momento dell’apertura del rubinetto. 1. Quanti litri d’acqua ci sono nel serbatoio dopo 2 minuit? 2. Quanti minuti sono necessari per svuotare metà del serbatoio? 3. Quanti minuti sono necessari per svuotare completamente il serbatoio? funzioni-3-serbatoio Bel tempo in vista EE È lunedì. Le previsioni meteo per i prossimi martedì e mercoledì recitano: “giornate prevalentemente soleggiate, senza sbalzi di temperatura; la massima (22°C) si registrerà mercoledì alle 12:00, mentre la minima (8°C) nella notte tra martedì e mercoledì, alle 4:00”. Traccia un grafico che della temperatura che rispetti la descrizione.

Coltura batterica F Durante un test di laboratorio, 5 ng di batteri sono posti in una piastra con abbondanti nutrimenti. Si osserva che la popolazione di batteri raddoppia ogni 30 minuti circa. Rappresenta con una funzione la crescita della popolazione di batteri e realizza un grafico cartesiano.

Dove parcheggio a Torino? EE Devi lasciare l’auto a Torino per qualche giorno. Puoi scegliere tra due opzioni: il parcheggio Aurora costa 10€ all’ingresso e 2€ ogni ora. Il parcheggio Bellavista non prevede costi all’ingresso, ma costa 3€ ogni ora. 1. Rappresenta il costo dei parcheggi con delle funzioni e tracciane i grafici. 2. Quando conviene il parcheggio Aurora? Quando conviene il parcheggio Bellavista? 3. Se hai a disposizione un budget di 100€, quale parcheggio è più vantaggioso?

Incontri montani EE/F Alice inizia la propria camminata verso il rifugio Questa (2388 m s.l.m.) dalle terme di Valdieri (1400 m s.l.m.). Alice percorre un dislivello di 380 metri ogni ora in salita. Nello stesso istante in cui Alice inizia la salita, Bob — che si trova sul monte Malinvern (2931 m s.l.m.) — inizia la propria discesa, diretto alle terme di Valdieri, ricoprendo un dislivello di 500 metri ogni ora sulle stesso sentiero percorso da Alice. 1. Rappresenta la posizione di Alice e Bob con delle funzioni e tracciane i grafici. 2. Dopo quanto tempo e a che altitudine Alice e Bob si incontrano? 3. Dopo quanto tempo Alice e Bob raggiungono rispettivamente la propria destinazione?

Luminosità variabile EE/F La luminosità dello schermo di uno smartphone varia da 5 nit, in una stanza buia (da 0,1 a 5 lux registrati dal sensore di luminosità), fino a 1000 nit, in caso di illuminazione diretta da parte del sole (circa 100’000 lux registrati dal sensore di luminosità). 1. Modellizza con un grafico la funzione che associa all’illuminamento dell’ambiente $A$ (misurato in lux) la luminosità dello schermo $L$ (misurata in nit). 2. Si tratta di una funzione crescente o decrescente?

Mezzi di trasporto analitici E Descrivi tramite una funzione un fenomeno che riguarda il trasporto ferroviario.

Oro nero EE Leggi il seguente passo, tratto da un articolo riguardante il prezzo del petrolio, quindi rappresenta il grafico cartesiano della funzione che descrive il fenomeno, specificandone dominio e codominio. > Durante la pandemia da COVID19 il consumo di petrolio si è notevolmente ridotto, causando un crollo del prezzo del greggio, che ha raggiunto il valore minimo di 18€ al barile nell’aprile 2020. Al termine della pandemia, la ripresa economica e il conseguente aumento della domanda hanno viceversa provocato una crescita del prezzo, fino al valore massimo di 114€ al barile nel maggio 2022. La crescita è stata più rapida tra novembre 2021 e febbraio 20022. Dopo una serie di oscillazioni, che comunque non hanno mai fatto scendere il prezzo sotto i 55 € al barile, il prezzo del petrolio è giunto a valere 60€ nell’ottobre 2025.

Pericolo abbronzature EE Il radiometro dell’ARPA posizionato nei pressi della diga del Chiotas (in località Entraque) misura la radiazione solare. La radiazione solare si misura in W/m² (watt al metro quadro) e può valere da 0 fino a 1000 W/m². Rappresenta il grafico cartesiano della funzione che modellizza la variazione della radiazione nel corso di martedì 21 ottobre 2025, tenendo conto dei seguenti fatti:

  • il sole sorge alle 08:00 e tramonta alle 18:30. La radiazione è nulla in assenza di luce;
  • la radiazione cresce al crescere dell’altezza del sole sull’orizzonte e decresce al decrescere;
  • il massimo valore di radiazione si registra alle 13:00 (275 W/m²);
  • tra le 09:00 e le 11:00 una nuvola copre il sole e rallenta l’aumento della radiazione misurata.

Fuga nello spazio EE/F La velocità di fuga $v_f$, cioè la velocità minima necessaria per sfuggire all’attrazione gravitazionale di un corpo celeste, è descritta dalla seguente funzione: \[ v_f(M) = \sqrt{\frac{2\,GM}{R}}, \] dove

  • $M$ è la massa del corpo celeste (in kg);
  • $R$ è il raggio del corpo celeste (in m);
  • $G$ è la costante gravitazionale $(G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \textrm{N} \cdot \textrm{m}^2/\textrm{kg}^2)$.

Prendiamo in considerazione un corpo celeste con raggio analogo a quello terrestre, $R = 6{,}4 \times 10^6 \text{ m}$.

  • Qual è il dominio della funzione $v_f(M)$?
  • Ti aspetti che la funzione $v_f(M)$ sia crescente, decrescente o costante?
  • Completa la seguente tabella di input-output, infine traccia un grafico approssimativo di $v_f(M)$.
M (kg) Velocità di fuga (m/s)
$1 \times 10^{23}$  
$5 \times 10^{23}$  
$1 \times 10^{24}$  
$5 \times 10^{24}$  
$1 \times 10^{25}$  

Occhio alla scossa EE/F L’intensità della corrente III che scorre in un circuito elettrico può dipendere non solo dalla tensione applicata $V$, ma anche dalla resistenza $R$ e dalla resistenza interna $r$ della sorgente.
Una forma modificata della legge di Ohm è descritta dalla seguente funzione: \[ I(V)= \sqrt{\dfrac{V}{R + r}} \] dove:

  • $I(V)$ è l’intensità della corrente (in ampere, A);
  • $V$ è la tensione applicata (in volt, V);
  • $R$ è la resistenza del circuito (in ohm, Ω);
  • $r$ è la resistenza interna della sorgente (in ohm, Ω).

Consideriamo un circuito con: \[ R = 40\ \Omega \quad \text{e} \quad r = 10\ \Omega \]

  • Qual è il dominio della funzione $I(V)$?
  • Ti aspetti che la funzione $I(V)$ sia crescente, decrescente o costante?
  • Completa la tabella input-output, infine traccia un grafico approssimativo di $I(V)$.
Tensione (V) Intensità di corrente (A)
10  
20  
30  
40  
50  

In giro per l’Europa! EE Rappresenta con una funzione il numero di capitali Europee visitate nel da Alice.

Anno Città
2017 Roma
2018 Parigi, Helsinki
2019 Reykjavik
2020 Berlino
2022 Vienna, Bucarest, Riga, Tallin
2023 Madrid
2024 La Valletta, Varsavia
2025 Lisbona, Londra
Dobbiamo sapere, sapremo! - D. Hilbert