Esercizi sulla derivata

Una raccolta di quesiti, quiz e problemi sulla derivata.

Cosa significano E, F, ecc.? Consulta la [[scala di difficoltà degli esercizi]].

Esercizi

1. EE/F Traccia il grafico approssimativo della derivata delle seguenti funzioni.

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    { "fn": "0.5*x + 0.4*cos(2*pi*x)" }
  ]
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  ]
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    { "fn": "log(x)" }
  ]
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    { "fn": "e^(-x^2)" }
  ]
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1. EE Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
   1. $f(x) = x^2 + 3$ Soluzione: $f^\prime(x) = 2x$
   2. $f(x) = x - \sin x$ Soluzione: $f^\prime(x) = 1 - \cos x$
   3. $f(x) = 3x^3 - 2x + 1$ Soluzione: $f^\prime(x) = 9x^2 - 2$
   4. $f(x) = e^x + 5$ Soluzione: $f^\prime(x) = e^x$
   5. $f(x) = \ln x$ Soluzione: $f^\prime(x) = \frac{1}{x}$
   6. $f(x) = \cos x + x^2$ Soluzione: $f^\prime(x) = -\sin x + 2x$
   7. $f(x) = 4x - 3$ Soluzione: $f^\prime(x) = 4$
   8. $f(x) = k$, dove $k$ è un numero reale Soluzione: $f^\prime(x) = 0$
   9. $f(x) = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - x$ Soluzione: $f^\prime(x) = 20x^3 - 12x^2 + 6x - 1$
   10. $f(x) = \sin x + \cos x$ Soluzione: $f^\prime(x) = \cos x - \sin x$
   11. $f(x) = ax^2 + bx$ Soluzione: $f^\prime(x) = 2ax + b$
   12. $f(x) = 3$ Soluzione: $f^\prime(x) = 0$
   13. $f(x) = e^x - x$ Soluzione: $f^\prime(x) = e^x - 1$
2. EE/F Considera la funzione $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x - 1$.
   • Calcola la derivata della funzione $f$. Soluzione: $f^\prime = x + 2$
   • Traccia il grafico della derivata $f^\prime$. Soluzione: retta con pendenza positiva $1$, che interseca l’asse delle ordinate in $2$
   • Per quale valore di $x$ la derivata è nulla? Soluzione: $x = -2$
   • Determina le coordinate del minimo di $f$. Soluzione: $(-2, -3)$
   • Traccia un grafico approssimativo di $f$. Soluzione: parabola con concavità rivolta verso l’alto, passante per $(0, -1)$ e per il minimo $(-2, -3)$
   • Calcola la derivata seconda di $f$ e tracciane un grafico. Soluzione: $f^{\prime\prime} = 1$
   • Cosa si può affermare in merito alla concavità della funzione $f$? Soluzione: Essendo la derivata seconda positiva e costante, la concavità di $f$ è sempre rivolta verso l’alto (è “felice”).
3. EE/F Ripeti gli step descritti nell’esercizio precedente per le seguenti funzioni.
   1. $f(x) = x^2 - 4x$ Soluzione: $f^\prime(x) = 2x - 4$; minimo $(2, -4)$; concavità rivolta verso l’alto.
   2. $f(x) = -2x^2 - 1$ Soluzione: $f^\prime(x) = -4x$; massimo (0, -1)$; concavità rivolta verso il basso.
   3. $f(x) = x^3 - 2$ Soluzione: $f^\prime(x) = 3x^2$; non ha max o min; concavità negativa per $x < 0$, positiva per $x > 0$.
   4. $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x$ Soluzione: $f^\prime(x) = x^2 - 1$; max $(-1, 2/3)$, min $(1,-2/3)$; concavità negativa per per $x < 0$, positiva per $x > 0$.
4. EE/F Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
   1. $f(x) = x \cdot \sin x$ Soluzione: $f^\prime(x) = \sin x + x \cdot \cos x$
   2. $f(x) = x^2 \cdot e^x$ Soluzione: $f^\prime(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2)$
   3. $f(x) = \ln(x) \cdot (2x^3)$ Soluzione: $f^\prime(x) = 2x^2 + \ln(x) \cdot (6x^2) = 2x^2(1 + 3\ln x)$
   4. $f(x) = \dfrac{1}{x} \cdot \cos x$ Soluzione: $f^\prime(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot \cos x - \frac{1}{x} \cdot \sin x = -\frac{1}{x}\left(\frac 1 x \cos x - \sin x\right)$
   5. $f(x) = \sqrt{x} \cdot e^x$ Soluzione: $f^\prime(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^x + \sqrt{x} \cdot e^x = e^x\left(\frac{1 + 2x}{2\sqrt{x}}\right)$
   6. $f(x) = \sin x \cdot \cos x$ Soluzione: $f^\prime(x) = \cos^2 x - \sin^2 x$
   7. $f(x) = \sin x \cdot e^x$ Soluzione: $f^\prime(x) = \cos x \cdot e^x + \sin x \cdot e^x = e^x (\cos x + \sin x)$
   8. $f(x) = e^x - 2x \cdot e^x$ Soluzione: $f^\prime(x) = e^x - 2 \cdot e^x - 2x \cdot e^x = -e^x (1 + 2x)$
   9. $f(x) = 2x^2 - 3x + x \cdot \ln(x)$ Soluzione: $f^\prime(x) = 4x - 3 + \ln x + 1 = \ln x + 4x - 2$
   10. $f(x) = \sin x - x \cos x$ Soluzione: $f^\prime(x) = \cos x - \cos x + x \cdot \sin x = x \cdot \sin x$
5. PD- Per ciascuna delle seguenti descrizioni, stabilisci se la derivata prima e la derivata seconda sono positive, negative o nulle.
   • La funzione decresce e la sua pendenza diventa sempre meno ripida. Soluzione: $f^\prime < 0$, $f^{\prime\prime} > 0
   • La funzione cresce e la sua pendenza diventa sempre più ripida. Soluzione: $f^\prime > 0$, $f^{\prime\prime} > 0$
   • La funzione decresce e la sua pendenza diventa sempre più ripida. Soluzione: $f^\prime < 0$, $f^{\prime\prime} < 0$
   • La funzione cresce in modo costante. Soluzione: $f^\prime > 0$, $f^{\prime\prime} = 0
   • La funzione è costante. Soluzione: $f^\prime = 0$, $f^{\prime\prime} = 0
6. F+ Rispondi ai seguenti quesiti, relativi alla funzione $f$ rappresentata nel grafico.
   • Quanto vale $f^\prime(x)$ per $x < 0$? E per $x > 1$? Soluzione: $f^\prime(x)$ = -1$ per $x < 0$; $f^\prime(x) = +1$ per $x > 0$.
   • Traccia il grafico di $f^\prime$.
   • Esiste la tangente a $f$ in $(0,0)$? La funzione è derivabile in $x = 0$? Motiva le risposte. Soluzione: No, perché la funzione non si può approssimare con una sola retta in $(0, 0$); zoomando la funzione non assomiglia ad una retta. Pertanto non è derivabile.
   • Traccia il grafico della derivata seconda di $f$. Soluzione: Funzione costante nulla, non definita in $x = 0$.

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Quesiti

1. EE Come si definisce la retta tangente a una funzione in un punto?
2. EE Come si definisce la derivata di una funzione in un punto.
3. PD- Esiste una funzione continua con derivata non continua? Se sì, presenta un esempio, altrimenti motiva la risposta.
4. PD+ Esiste una funzione continua con derivata che presenta unicamente discontinuità eliminabili? Se sì, presenta un esempio, altrimenti motiva la risposta.
5. AD Data una funzione $f$, esiste un’unica funzione $g$ tale che $g^\prime = f$? Motiva la risposta.

Quiz

1. PD- Quale delle seguenti affermazioni in merito alla derivata di $f(x) = x^3 - 3$ non è corretta?
   • (a) È sempre positiva.
   • (b) È decrescente per $x < 0$, crescente per $x > 0$.
   • (c) È una parabola.
   • (d) Nessuna, tutte le affermazioni sono corrette. Soluzione: (d)
2. F Associa a ciascuna delle seguenti funzioni la propria derivata.
   • (i) $f_1(x) = x^2 - 3$
   • (ii) $f_2(x) = -3x + 1$
   • (iii) $f_3(x) = e^x - 1$
   • (iv) $f_4(x) = -x^3 + x$ Soluzione: C, D, B, A

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       ]
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3. F+ Quale delle seguenti è la derivata della funzione $f$ rappresentata nel grafico.
   • (a) $f^\prime(x) = 3x^2 - 14x + 14$
   • (b) $f^\prime(x) = -3x^2 + 14x - 14$
   • (c) $f^\prime(x) = 3x^3 + 14x^2 - 14$
   • (d) $f^\prime(x) = -3\sin(x) - 14$ Soluzione: (c)

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4. AD- Nel grafico è rappresentata la derivata seconda della funzione $f$. Quale delle seguenti affermazioni non è corretta.
   • (a) $f^\prime$ è decrescente per $x < 1$, crescente per $x > 1$.
   • (b) $f$ presenta un punto di flesso per $x = 1$.
   • (c) $f$ ha pendenza nulla per $x = 1$.
   • (d) $f$ ha concavità rivolta verso il basso per $x < 1$. Soluzione: (c)

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5. F Nel grafico è rappresentata la funzione $f$. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
   • (a) $f^\prime$ è decrescente per $x < 2$.
   • (b) $f^\prime$ ha un massimo per $x = 2$.
   • (c) $f^\prime$ è negativa per $x < 2$.
   • (d) Nessuna delle risposte è corretta. Soluzione: (a)

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6. F- Quale delle seguenti affermazioni sulla funzione $f(x) = e^{x}$ è corretta?
   • (a) La sua derivata è sempre positiva.
   • (b) La funzione presenta un minimo nell’origine.
   • (c) La sua derivata è sempre negativa.
   • (d) La sua derivata seconda è sempre negativa. Soluzione: (a)
7. AD- Nel grafico della derivata $f^\prime$ di una funzione, si osserva che $f^\prime$ interseca l’asse delle ascisse passandovi da valori negativi a valori positivi in $x = 3$. Cosa si può dedurre sulla funzione originale $f$?
   • (a) $f$ ha un punto di flesso in $x = 3$.
   • (b) $f$ ha un punto di massimo locale in $x = 3$.
   • (c) $f$ ha un punto di minimo locale in $x = 3$.
   • (d) Non ci sono informazioni sufficienti. Soluzione: (c)
8. EE Quanto vale la derivata della funzione $f$ rappresentata nel grafico nel punto $(2, 2)$?
   • (a) $f^\prime(2) = -\frac 1 2$
   • (b) $f^\prime(2) = 4$
   • (c) $f^\prime(2) = -2$
   • (d) $f^\prime(2) = 2x$ Soluzione: (b)

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Problemi

1. Potenziale elettrico PD Nel grafico è rappresentato il potenziale elettrico $V$ (espresso in volt) in funzione della posizione $x$ (espressa in metri) lungo un cavo.

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    }
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Spiega se sei d’accordo con le seguenti affermazioni.

• La derivata di $V$ è massima per $0 < x < 0.4$. Soluzione: No, la derivata è nulla per $0 < x < 0.4$.
• La derivata di $V$ è crescente per $0.9 < x < 1.2$. Soluzione: No, $V$ è crescente, ma la sua derivata è costante per $0.9 < x < 1.2$.
• La derivata di $V$ per $0 < x < 0.4$ assume lo stesso valore della derivata di $V$ per $x > 1.2$. Soluzione: Sì, in entrambi gli intervalli la derivata è nulla.

Rispondi ai seguenti quesiti.

• Calcola la derivata di $V$ per $x \in (0.4, 0.6)$ e per $x \in (0.9, 1.2)$. Soluzione: $V^\prime = -30$ per $x \in (0.4, 0.6)$, $V^\prime = 13.3$ per $x in (0.9, 1.2)$.
• Traccia un grafico approssimativo della derivata di $V$. Soluzione: Premere il pulsante sotto il grafico di $V$ per visualizzare la derivata.
• Per quali valori di $x$ il campo $V^\prime$ è massimo? Per quali valori di $V^\prime$ è minimo? Soluzione: È massimo per $x \in (0.9, 1.2)$, è minimo per $x \in (0.4, 0.6)$.
• Per quali valori di $x$ il campo $V^\prime$ è costante? Soluzione: Per ogni valore di $x \in (0, 2) \setminus {0.4, 0.6, 0.9, 1.2}$