La funzione esponenziale

La coltura batterica

In condizioni ambientali ideali e in presenza di adeguate quantità di ossigeno e micronutrienti, un particolare tipo di batteri si riproduce per citochinesi ogni ora, ovvero ogni batterio duplica il proprio materiale genetico e si scinde in due batteri identici tra loro e al batterio progenitore.

In una coltura microbiologica, all’istante temporale $t = 0$, un insieme di tali batteri ha una massa complessiva di $1 \, \text{ng}$. Nella tabella è riporta la massa complessiva dei batteri dopo ogni ora.

Crescita esponenziale

Si nota che la massa di batteri dopo $n$ ore vale $2^n$. Possiamo quindi esprimere la massa $m$ di batteri in funzione del tempo $t$:

Questo tipo di funzione si dice esponenziale, perché la variabile indipendente $t$ compare ad esponente (a differenza, ad esempio, di $f(t) = t^2$, dove $t$ è la base della potenza). È anche possibile indagare il comportamento della massa di batteri nel passato, prima dell’istante iniziale. Un’ora prima dell’istante iniziale $t = 0$, la massa di batteri — che raddoppia ogni ora e misura inizialmente $1 \, \text{ng}$ — ammontava a $0{,}5 \, \text{ng}$, due ore prima ammontava a $0{,}25 \, text{ng}$, eccetera.

La funzione $m(t) = 2^t$ continua a descrivere perfettamente il comportamento della massa di batteri, anche nel passato, ovvero per $t < 0$.

Possiamo tracciare un grafico della funzione.

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  ] 
}

Si può notare che:

• il dominio della funzione è $\mathbb{R}$;
• l’immagine della funzione è ${\forall t \in \mathbb R : t > 0}$, ovvero l’insieme dei numeri reali positivi;
• la funzione si “appiattisce” sull’asse delle ascisse al decrescere del valore di $t$ — più precisamente, la funzione tende a $0$ per $t$ che tende a $-\infty$;
• la funzione cresce molto rapidamente verso infinito al crescere di $t$, “impenna” — più precisamente, la funzione tende a $+\infty$ per $t$ che tende a $+\infty$.

Di seguito è riportato il grafico “dezoomato” della funzione $m(t) = 2^t$.

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  ]
}

Ben si può osservare quanto rapidamente la funzione cresca e come si appiattisce sull’asse delle ascisse, al punto da apparire quasi come un angolo retto.

Valore iniziale

Se la massa iniziale di batteri ammontasse a $5 \, \text{ng}$, la massa complessiva di batteri evolverebbe nel modo seguente.

Pertanto, la funzione che descrive l’evoluzione della massa di batteri è $m_2(t) = 5 \cdot 2^t$ (il nome $m_2$ serve a differenziarla dalla massa di batteri descritta in precedenza). Osservando il grafico della funzione, si può che

• il grafico della funzione $m_2$ risulta dilatata verticalmente rispetto al grafico della funzione $m$;
• la funzione $m_2$ cresce con rapidità doppia rispetto a $m$;
• la funzione $m_2$ passa per il punto $(0, 5)$, perché la massa iniziale di batteri ammonta a $5 \, \text{mg}$, al posto del punto $(0, 1)$ in cui passava la funzione $m$;
• entrambe le funzioni si appiattiscono sull’asse delle ascisse;
• entrambe le funzioni crescono rapidamente all’infinito.

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  ] 
}

Rapidità di crescita

Supponiamo che i batteri, al posto di duplicare ogni ora, triplichino.

La massa iniziale di batteri continua a valere $5 \, \text{ng}$, pertanto il grafico della funzione passa nel punto $(0, 5)$, ma la funzione cresce più rapidamente.

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    { "points": [[-5,0.02057],[-4,0.06172],[-3,0.18518],[-2,0.55556],[-1,1.666667],[0,5],[1,15],[2,45],[3,135]], "color": "red1", "radius": 4 }
  ]
}

Soglia

Consideriamo nuovamente la massa di batteri che duplica ogni ora, ma supponiamo ora che esista oltre ai $10 \, \text{mg}$ iniziali che duplicano ogni ora, ci siano $3 \, \text{mg}$ di batteri sterili, che non si riproducono.

La funzione non si appiattisce più sull’asse delle ascisse, ma sulla retta orizzontale di equazione $m = 10$: risulta ovvero traslata verticalmente verso l’alto di 10.

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    { "fn": "5*2^x", "color": "black1", "dash": [2,2], "label": "$m_2(t) = 5 \\cdot 2^t$" },
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    { "points": [[-5,10.15625],[-4,10.3125],[-3,10.625],[-2,11.25],[-1,12.5],[0,15],[1,20],[2,30],[3,50]], "color": "red1", "radius": 4 }
  ] 
}

Decrescita esponenziale

Se volessimo rappresentare una massa di batteri, inizialmente di $1 \, \text{ng}$ che dimezza ogni ora, la funzione corretta sarebbe invece $m(t) = \left(\frac 1 2\right)^t$.

La base dell’esponenziale rappresenta la percentuale di batteri presenti dopo un’unità temporale rispetto all’istante considerato: ad esempio, la massa iniziale misura $1 \, \text{ng}$ e dopo un’unità temporale (un’ora) misura il $50 \%$ di $1 \, \text{ng}$, ovvero $\frac 1 2 \cdot 1 \, \text{ng} = 0{,}5 \, \text{ng}$.

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Ricapitolando

La funzione esponenziale è utile per rappresentare fenomeni di crescita o decrescita, dove la quantità $f$ che cresce o decresce diventa una certa percentuale di se stessa dopo ogni unità di tempo $x$. Una funzione esponenziale può essere descritta algebricamente nel modo seguente:

dove

• $c$ è la soglia, il valore della traslazione verticale della funzione $a \cdot b^x$;
• $a$ è la distanza iniziale (con segno) dalla soglia, ovvero la distanza tra $(0, c)$ e l’intersezione della funzione esponenziale con l’asse delle ordinate — moltiplicando $b^x$ per $a$ si effettua una dilatazione ($a > 1$), compressione ($0 < a < 1$) o riflessione ($a < 1$) della funzione di partenza $b^x$;
• $b$ è la percentuale della quantità presente dopo ogni unità temporale rispetto all’instante considerato — il grafico della funzione si allontana alla soglia se $b > 1$ e si avvicina alla soglia se $0 < b < 1$.

Prova di seguito a modificare il valore dei parametri $a$, $b$ e $c$. Nota che $b > 0$, altrimenti l’output della funzione potrebbe non essere reale (ad esempio, $(-1)^{1/2} = \sqrt{-1} \not\in \mathbb{R}$).

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