Esercizi su esponenziale e logaritmo

Esercizi, quesiti, quiz e problemi sulle funzioni esponenziale e logaritmo.

Cosa significano E, F, ecc.? Consulta la [[scala di difficoltà degli esercizi]].

Esercizi

EE Disegna il grafico approssimativo delle seguenti funzioni esponenziali.
1. $f(x) = 4^x$
2. $f(x) = -\dfrac 1 2 4^x$
3. $f(x) = 3 \cdot 2^x - 4$
4. $f(x) = - \left(\frac 1 2 \right)^x + 1$
5. $f(x) = 2 \cdot 2^x - 1$
6. $f(x) = -2 + \left(\dfrac 1 3\right)^x - 2$
7. $f(x) = +5 - 3^x$
EE Disegna il grafico approssimativo delle seguenti funzioni logaritmiche.
1. $f(x) = \log_{10}(x)$
2. $f(x) = -\log_{10}(x)$
3. $f(x) = \ln(x - 1)$
4. $f(x) = \ln(x - 1)$
5. $f(x) = -\log_2(x + 2)$
6. $f(x) = \ln(-x)$
7. $f(x) = \log_{\frac 1 2}(x)$
8. $f(x) = -\log_{\frac 1 2} (x)$
EE/F Ricava la funzione inversa delle seguenti funzioni.
1. $f(x) = \log_2(x + 2)$
2. $f(x) = 3^x + 2$
3. $f(x) = 2 \cdot e^{x} - 1$
4. $f(x) = -\ln(x)$
F Quanti sono i punti di intersezione tra il grafico di $f(x) = e^x - 2$ e il grafico di $f(x) = x - 2$?
F Quanti sono i punti di intersezione tra il grafico di $f(x) = \ln x$ e il grafico di $f(x) = -x - 1$
PD- Determina, in modo approssimativo, la soluzione o le soluzioni di $e^x -2 = x - 2$.
D Riscrivi le seguenti funzioni esponenziali nella forma $f(x) = a \cdot e^{\lambda x} + c$.
1. $f(x) = 4 \cdot 1{,}2^x$
2. $f(x) = 2 \cdot 0{,}8^x - 1$
3. $f(x) = -3^x$
4. $f(x) = \left(\frac 1 2 \right)^x + \frac 1 2$
5. $f(x) = 0{,}1^x - 10$
6. $f(x) = 2^{-x} + 1$

PD- Determina le definizioni algebriche ($f(x) = \dotsc$) delle funzioni il cui grafico è rappresentato in figura.

{
  "xlim": [-6.9,6.9],
  "ylim": [-6.9,6.9],
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "2^x + 1", "color": "red1", "label": "f" },
 { "fn": "-(0.75^x) - 1", "color": "red1", "label": "g", "dash": "2,2" },
 { "fn": "-(2^x) + 2", "color": "black1", "label": "h" }
  ]
}

PD In figura è rappresentato il grafico della funzione $f$. Rappresenta il grafico della funzione $g(x) = -2 \cdot f(x) - 1$.

{
  "xlim": [-4.9,4.9],
  "ylim": [-4.9,4.9],
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "2^x", "color": "red1", "label": "f" }
  ]
}

F+ In figura è rappresentato il grafico della funzione $f$. Rappresenta il grafico della funzione $g(x) = -f(x)$ e della funzione $h(x) = f(-x)$
```
{
  "xlim": [-4.9,4.9],
  "ylim": [-4.9,4.9],
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "log(x)", "color": "red1", "label": "f" }
  ]
}
```

AD- In figura è rappresentato il grafico della funzione $f$. Rappresenta il grafico della funzione $g(x) = 3 \cdot f(x)$.

{
  "xlim": [-4.9,4.9],
  "ylim": [-4.9,4.9],
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "-(2^x)+1", "color": "red1", "label": "f" }
  ]
}

PD Determina graficamente, in modo approssimativo, il numero di soluzioni dell’equazione $3^x = 4 − x^2$ . Verifica successivamente utilizzando uno strumento grafico (es. Desmos).
PD Risolvi le seguenti equazioni esponenziali e logaritmiche per via algebrica.
1. $e^x + 2 = 0$
2. $2^x - 16 = 0$
3. $\log_2(x) = -3$
4. $2^x = 3^x$
5. $e^{x - 1} = e^{2x + 2}$
6. $\log_{10}(x) = 2$
7. $5^x - 50 = 0$
8. $\ln(2x - 1) = \ln(x^2 - 1)$
9. $3 \cdot e^x - 2 \cdot e^x = 2$
10. $\log_{10}(x - 2) - 2 = 0$
11. $2^{x + 1} = 8^{x}$
12. $2^2 + 10^x = 0$
13. $\log_2(x) + \log_2(x - 1) = 0$
14. $2\ln(x) - \ln(x + 1) = \ln(2)$
15. $2^x - 10 = 0$

Quesiti

F+ Spiega perché il grafico della funzione esponenziale $f(x) = e^x$ non interseca l’asse $x$.
F Spiega perché
- il grafico di $f(x) + c$ risulta traslato di $c$ rispetto al grafico di $f(x)$;
- il grafico di $a \cdot f(x)$ risulta dilatata verticalmente se $a > 1$, compresso verticalmente se $0 < a < 1$, riflesso verticalmente e dilatato/compresso se $a < 0$;
- il grafico di $b^x$ è crescente se $b > 1$ ed è decrescente se $0 < b < 1$.
F- Per quale valore di $b$ la funzione $f(x) = b^x$ è costante?
F Per quali valori di $b$ la funzione $f(x) = \log_b(x)$ non è definita?
Spiega una delle ragioni storiche o delle necessità pratiche di calcolo che hanno condotto all’invenzione dei logaritmi.
Spiega per quale motivo, dal punto di vista grafico, le funzioni logaritmiche del tipo $f(x)=log_a(x)$ intersecano l’asse delle ascisse sempre nel punto $(1,0)$ indipendentemente dalla base a (con $a > 0$ e $a \neq 1$).

Quiz

F+ Quale dei seguenti è il grafico di $f(x) = 2^x - 1$?

(a) Grafico A
(b) Grafico B
(c) Grafico C

(d) Non è possibile scegliere tra (a) e (b)

{
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "3^x - 1", "color": "red1", "label": "A" },
 { "fn": "2^x - 1", "color": "red1", "label": "B", "dash": "2,2" },
 { "fn": "-(2^x) + 2", "color": "black1", "label": "C" }
  ]
}

F- Associa a ciascuna delle seguenti funzioni il proprio grafico.

(i) $f(x) = \frac 1 2 4^x - 1$
(ii) $f(x) = -\frac 1 2 4^x + 1$
(iii) $f(x) = 4 \left(\frac 1 2\right)^x + 1$

(iv) $f(x) = -4 \left(\frac 1 2\right)^x - 1$

{
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "4*0.5^x+1", "color": "red1", "label": "A" },
 { "fn": "-4*0.5^x-1", "color": "red1", "dash": "2,2", "label": "B" },
 { "fn": "-0.5*4^x+1", "color": "black1", "label": "C" },
 { "fn": "0.5*4^x-1", "color": "black1", "dash": "2,2", "label": "D" }
  ]
}

F- Quale funzione è rappresentata in figura?
- (a) $f(x) = e^{x} + 1$
- (b) $f(x) = -e^{x} + 1$
- (c) $f(x) = e^{x} - 1$
- (d) $f(x) = -e^{x} - 1$
```
{
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "-exp(x) - 1", "color": "red1" }
  ] 
}
```
F+ Una delle seguenti funzioni è equivalente a $f(x) = 5 \cdot \left(\frac 1 2\right)^x +2$. Quale?
- (a) $f(x) = 5 \cdot 2^{-x} + 2$
- (b) $f(x) = \left(\frac 5 2\right)^x + 2$
- (c) $f(x) = \left(\frac 5 2 \right)^x + 10$
- (d) $f(x) = 7 \cdot 2^x$
E Il grafico di $g(x) = 2^x + 3$ rispetto a quello di $f(x) = 2^x$ risulta:
- (a) Traslato verso l’alto di 3 unità.
- (b) Traslato verso destra di 3 unità.
- (c) Traslato verso sinistra di 3 unità.
- (d) Dilatato verticalmente di fattore 3.
F+ Una coltura batterica raddoppia ogni ora. Se inizialmente ci sono 100 batteri, quale funzione rappresenta il numero di batteri $N$ dopo $t$ ore?
- (a) $N(t) = 100 + 2^t$
- (b) $N(t) = 100 \cdot t^2$
- (c) $N(t) = 100 \cdot 2^t$
- (d) $N(t) = 2 \cdot 100^t$

F+ Associa ad ognuna delle seguenti funzioni esponenziali il proprio grafico.

(i) $f(x) = -3 \cdot 2^x + 2$
(ii) $f(x) = 3 \cdot 2^x - 2$
(iii) $f(x) = 3 \cdot \left(\frac 1 2\right)^x - 2$

(iv) $f(x) = -3 \cdot \left(\frac 1 2 \right)^x + 2$

{
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "-3*2^x+2", "color": "red1", "label": "A" },
 { "fn": "-3*0.5^x+2", "color": "red1", "dash": [2,2], "label": "B" },
 { "fn": "3*0.5^x-2", "color": "black1", "label": "C" },
 { "fn": "3*2^x-2", "color": "black1", "dash": [2,2], "label": "D" }
  ]
}

F- Qual è l’immagine della funzione esponenziale elementare $m(t) = 2^t$?
- (a) L’insieme di tutti i numeri reali $\mathbb{R}$.
- (b) L’insieme dei numeri reali positivi.
- (c) L’insieme dei numeri reali maggiori o uguali a 1.
- (d) L’insieme dei numeri interi.
PD+ In figura è rappresentato il grafico della funzione $f$. Il grafico di $g(x) = -3 \cdot f(x) + 2$ è
- (a) crescente, che tende ad avvicinarsi alla soglia.
- (b) decrescente, che tende ad avvicinarsi alla soglia.
- (c) crescente, che tende ad allontanarsi dalla soglia.
- (d) decrescente, che tende ad allontanarsi dalla soglia.
```
{
  "data": [
 { "fn": "2^x" }
  ]
}
```
F+ Quale delle seguenti funzioni è equivalente a $f(x) = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x$?
- (a) $f(x) = 3 \cdot 3^{-x}$
- (b) $f(x) = \left(\frac{3}{3}\right)^x$
- (c) $f(x) = 9^x$
- (d) $f(x) = 3 \cdot x^{1/3}$
F Nella forma generale $f(x) = a \cdot b^x + c$, se $0 < b < 1$, cosa accade al grafico della funzione rispetto alla soglia $c$?
- (a) Si allontana dalla soglia al crescere di $x$.
- (b) Si avvicina alla soglia al crescere di $x$.
- (c) La funzione diventa negativa.
- (d) La funzione oscilla attorno a $c$.
F- Una popolazione di formiche inizia con 50 batteri e triplica ogni mese. Quale funzione rappresenta il numero di formiche $N$ dopo $t$ mesi?
- (a) $N(t) = 50 + 3^t$
- (b) $N(t) = 3 \cdot 50^t$
- (c) $N(t) = 50 \cdot 3^t$
- (d) $N(t) = 50 \cdot t^3$
F- Si consideri il deprezzamento di un’auto che perde il 15% del valore ogni anno. Se $V(t) = A \cdot b^t$, quanto vale la base $b$?
- (a) $0,15$
- (b) $-15$
- (c) $1,15$
- (d) $0,85$
PD Nel contesto della fissione nucleare, la relazione $N(t) = N_0 \cdot k^{t / \tau}$ descrive il numero di neutroni. Cosa rappresenta il parametro $k$?
- (a) Il tempo di generazione (in secondi).
- (b) Il numero iniziale di neutroni.
- (c) L’energia cinetica dei frammenti.
- (d) Il fattore di moltiplicazione efficace (numero medio di neutroni prodotti che causano nuova fissione).
PD- Con riferimento alla domanda precedente, quanto vale $k$ in un reattore nucleare in funzione?
- (a) 0
- (b) 1
- (c) più di 1
- (d) meno di 1
PD In figura è rappresentato il grafico della funzione $m$, che descrive la massa di una coltura batterica (espressa in nanogrammi) al variare del tempo $t$ (espresso in ore). Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
- (a) I batteri triplicano ogni ora.
- (b) La massa iniziale della coltura è 5 ng.
- (c) Manca sostanza nutritiva nella coltura, i batteri stanno morendo.
- (d) Alcuni batteri non sono in grado di riprodursi.
```
{
"xlim": [-5.9,5.9],
"ylim": [-4.9,54.9],
"axisLabels": ["t","m"],
"axisLabelStyle": "italic",
"data": [
{ "fn": "5*2^x+10", "color": "red1" }
] 
}
```

F- Associa a ciascuna delle seguenti funzioni il proprio grafico.

(i) $f(x) = e^x + 1$
(ii) $f(x) = e^x - 1$
(iii) $f(x) = \ln(x + 1)$

(iv) $f(x) = \ln(x - 1)$

{
"xlim": [-4.9,4.9],
"ylim": [-4.9,4.9],
"legend": true,
"data": [
{ "fn": "e^x+1", "color": "red1", "label": "A" },
{ "fn": "log(x+1)/log(e)", "color": "red1", "dash": "2,2", "label": "B" },
{ "fn": "log(x-1)/log(e)", "color": "black1", "label": "C" },
{ "fn": "e^x-1", "color": "black1", "dash": "2,2", "label": "D" }
]
}

F+ Associa a ciascuna delle seguenti funzioni il proprio grafico.

(i) $f(x) = \log_{10}(x)$
(ii) $f(x) = -\log_{10}(x)$
(iii) $f(x) = \log_{\frac 1 {10}}(-x)$

(iv) $f(x) = \log_{10}(-x)$

{
"xlim": [-4.9,4.9],
"ylim": [-4.9,4.9],
"legend": true,
"data": [
{ "fn": "log(-x)/log(0.1)", "color": "red1", "label": "A" },
{ "fn": "log(x)/log(10)", "color": "red1", "dash": "2,2", "label": "B" },
{ "fn": "-log(x)/log(10)", "color": "black1", "label": "C" },
{ "fn": "log(-x)/log(10)", "color": "black1", "dash": "2,2", "label": "D" }
]
}

PD- Quale dei seguenti è il grafico di $f(x) = -\log_2(x + 1)$?

(a) Grafico A
(b) Grafico B
(c) Grafico C

(d) Nessuno dei precedenti.

{
"legend": true,
"data": [
{ "fn": "-log(x-1)/log(2)", "color": "red1", "label": "A" },
{ "fn": "log(x+1)/log(2)", "color": "red1", "dash": "2,2", "label": "B" },
{ "fn": "log(-x-1)/log(2)", "color": "black1", "label": "C" }
]
}

F+ Quale dei seguenti è il grafico di $f(x) = \ln(-x)$?

(a) Grafico A
(b) Grafico B
(c) Grafico C

(d) Nessuno dei precedenti.

{
"xlim": [-4.9,4.9],
"ylim": [-4.9,4.9],
"legend": true,
"data": [
{ "fn": "log(x)/log(e)", "color": "red1", "label": "A" },
{ "fn": "log(-x)/log(e)", "color": "red1", "dash": "2,2", "label": "B" },
{ "fn": "-log(x)/log(e)", "color": "black1", "label": "C" }
]
}

F Quale funzione è rappresentata in figura?
- (a) $f(x) = \log_2(x)$
- (b) $f(x) = \log_3(x)$
- (c) $f(x) = \ln(x)$
- (d) Nessuna delle precedenti.
```
{
"xlim": [-4.9,4.9],
"ylim": [-4.9,4.9],
"data": [
{ "fn": "log(x)/log(3)" }
]
}
```
F In figura è rappresentata la funzione $f(x) = \log_2(x)$. Qual è la soluzione di $log_2(x) = 0{,}2$?
- (a) $x \approx 1{,}15$
- (b) $x \approx -1{,}45$
- (c) $x \approx 0{,}8$
- (d) Nessuna delle precedenti.
```
{
"xlim": [-0.9,2.9],
"ylim": [-1.9,1.9],
"data": [
{ "fn": "log(x)/log(3)" }
]
}
```
E Qual è il dominio di $f(x) = \ln(x - 2)$?
- (a) ${\forall x \in \mathbb R : x > 2}$
- (b) ${\forall x \in \mathbb R : x < 2}$
- (c) $\mathbb R$
- (d) ${\forall x \in \mathbb R : x \geq 2}$

F+ Che tipo di crescita è rappresentata nel grafico?

(a) Lineare
(b) Esponenziale

(c) Logaritmica

{
"aspectRatio": "3:2",
"xlim": [1, 1000],
"ylim": [1, 1000000],
"xScale": "log",
"data": [
{
"fn": "log(x)/log(2)"
}
]
}

PD- Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente il grafico della funzione $f(x) = −ln(x−1)$ rispetto al grafico elementare della funzione $g(x) = ln(x)$?
- (a) È traslato verso destra di 1 unità e riflesso rispetto all’asse $x$.
- (b) È traslato verso sinistra di 1 unità e riflesso rispetto all’asse $y$.
- (c) È traslato verso il basso di 1 unità.
- (d) È riflesso rispetto all’asse y e traslato verso l’alto di 1 unità.
F- Qual è il dominio della funzione logaritmica f(x)=ln(−x)?
- (a) ${\forall x \in \mathbb R : x > 0}$
- (b) ${\forall x \in \mathbb R : x \neq 0}$
- (c) ${\forall x \in \mathbb R : x > 0}$
- (d) $\emptyset$ (ovvero l’insieme vuoto), perché l’argomento del logaritmo non può presentare il segno meno.
F+ Quante soluzioni ammette l’equazione $\ln x = -x$?
- (a) Nessuna
- (b) Una
- (c) Due
- (d) Non è possibile risolvere l’equazione per via algebrica, quindi non è nemmeno determinare il numero di soluzioni.
F Nel calcolo del livello di intensità sonora $L(I) = 10 \cdot \log_{10}(I/10^{−12})$, se l’intensità sonora $I$ viene centuplicata, il livello $L$ misurato in decibel
- (a) aumenta di un valore additivo pari a 20 dB.
- (b) aumenta di 100 dB.
- (c) centuplica a sua volta.
- (d) raddoppia.
PD Sapendo che per valutare l’energia di un terremoto vale la relazione empirica di Gutenberg-Richter $\log_{10}E = 4.8+1.5M$, un aumento della magnitudo $M$ di esattamente 2 unità corrisponde a un’energia irradiata $E$ che:
- (a) Aumenta in modo additivo di 101,5 Joule.
- (b) Raddoppia in valore assoluto.
- (c) Aumenta di un fattore moltiplicativo pari a 103 (ovvero diventa 1000 volte più grande).
- (d) Aumenta di un fattore costante 1,5.

Problemi

1. Diramazioni

PD- Nei primi anni di vita, una pianta cresce nel modo seguente: ogni anno da ogni ramo spuntano 3 nuovi rami; inizialmente la pianta ha 2 rami.

Quale funzione descrive il numero di rami terminali $r$ in funzione del tempo $t$?
Se la pianta continuasse a crescere nel modo descritto, quanti rami terminali avrebbe dopo 20 anni?
Traccia un grafico approssimativo della funzione $r(t)$.
Dopo quanto tempo la pianta avrà 4374 rami terminali? Scrivi un’equazione per rispondere a questa domanda: prova a risolverla, quindi verifica la correttezza usando WolframAlpha.

2. Ardua scelta

AD- Scrollando su un qualche social, ti imbatti nel seguente post (pensato per fare engagement-baiting):

Preferisci 2 miliardi di euro subito oppure 1 euro che raddoppia ogni giorno?

Qual è la scelta migliore a lungo termine?
Dopo quanti giorni la seconda opzione diventa più vantaggiosa della prima? Scrivi una disequazione per rispondere alla domanda: prova a risolverla, quindi verifica la correttezza con WolframAlpha.
Scrivi due funzioni $S_1$ e $S_2$ per rappresentare le due scelte al variare del tempo $t$ (espresso in giorni).
Rappresenta la situazione con un grafico cartesiano. A cosa corrisponde il punto di intersezione tra i due grafici?

Una altro post — decisamente più sofisticato — recita invece quanto segue:

Preferisci un investimento di 2000€ a capitalizzazione semplice con un interesse del 10% annuo oppure un investimento di 2000€ a capitalizzazione composta con un interesse del 2% annuo?

Scrivi due funzioni per rappresentare i montanti $M_1$ e $M_2$ al variare del tempo $t$ (espresso in anni), quindi rappresentale.
Qual è l’investimento più vantaggioso nel breve termine? E nel lungo termine?
Dopo quanti anni il secondo investimento diventa più vantaggioso? Scrivi una disequazione per rispondere alla domanda: prova a risolverla, quindi verifica la correttezza con WolframAlpha. Cosa noti? È semplice risolvere algebricamente la disequazione? Come puoi risolverla graficamente?

3. Deconcentrazioni farmaceutiche

PD $C(t) = 30 \cdot 0.7^t$ descrive la concentrazione nel sangue del paracetamolo (espressa in µg/mL — ovvero microgrammi per millilitro) in funzione del tempo (espresso in ore). L’istante di tempo $t = 0$ corrisponde al momento, successivo all’assunzione, in cui la concentrazione è massima.

Qual è la concentrazione iniziale del farmaco?
Come varia ogni ora la concentrazione del farmaco?
Traccia un grafico approssimativo di $C(t)$.

4. Chill out!

PD+ Quando un oggetto a temperatura $T_0 = 85^\circ$ — posto in un ambiente a temperatura $T_\text{amb} = 20^\circ$ — si raffredda, la sua temperatura decresce esponenzialmente. Dopo ogni minuto, la temperatura diventa il 75% della temperatura precedente.

Quale funzione descrive la temperatura dell’oggetto $T$ in funzione del tempo $t$?
Qual è la temperatura dell’oggetto dopo un’ora? Dopo due ore?
Traccia un grafico approssimativo della funzione $T(t)$.
Dopo quanto tempo la concentrazione diventa 0.7% del valore iniziale?

5. Problemi di memoria

PD Lo psicologo Ebbinghaus studiò, alla fine dell’Ottocento, il declino della memoria nel tempo. In un certo soggetto, la capacità di recuperare certe informazioni acquisite dalla memoria $R$ è descritta, al variare del tempo $t$ (dove $t = 0$ è corrisponde al momento di acquisizione dell’informazione) dalla funzione $R(t)$ il cui grafico è sotto riportato (curva dell’oblio). Il tempo è espresso in giorni e $R$ in percentuale rispetto alla capacità iniziale (100%).

{
  "xlim": [-0.9,14.9],
  "ylim": [-9.9,100.9],
  "axisLabels": ["t","R"],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "data": [
    { "fn": "20+80*0.75^x", "domain": [0,20], "color": "red1" }
  ]
}

Qual è la capacità di recuperare informazioni al momento dell’acquisizione delle informazioni? Quanto vale $R$ dopo un giorno dall’acquisizione dell’informazione?
$R$ non scende mai sotto quale valore?
Scrivi la definizione algebrica di $R(t)$.
Dopo quanto tempo la capacità di recuperare informazione scende al di sotto del 30% della capacità iniziale?

6. Bomba o reattore?

D- La reazione di fissione nucleare dell’uranio-235, un isotopo fissile dell’uranio, consiste nell’assorbimento di un neutrone da parte di un nucleo di uranio-235 e la successiva scissione del nucleo. Tramite tale processo è liberata una grande quantità di energia, principalmente sotto forma di energia cinetica dei frammenti in cui il nucleo è stato scisso (i prodotti di fissione), e l’emissione di alcuni neutroni veloci, in media 2,43. Tali neutroni possono causare altre reazioni di fissione, innescando un procedimento a catena. La probabilità che un neutrone venga assorbito da un nucleo di uranio-235 aumenta se i neutroni sono lenti (tali neutroni sono detti termici).

In una bomba o in un reattore nucleare, il numero di neutroni liberi $N$ al tempo $t$ (misurato in secondi) può essere descritto dalla seguente funzione esponenziale:

$$ N(t) = N_0 \cdot k^{t / \tau} $$

dove

$N_0$ è il numero iniziale di neutroni;
$k$ è il fattore di moltiplicazione efficace, ovvero il numero medio di neutroni prodotti da una fissione che riescono a causare una nuova fissione;
$\tau$ è il tempo di generazione (in secondi), ovvero il tempo medio che intercorre tra l’emissione di un neutrone e la fissione successiva che esso provoca.

Rispondi ai seguenti quesiti.

Quale parametro, tra $N_0$, $k$ e $\tau$, è cruciale nella distinzione tra una bomba e un reattore nucleare? Quanto deve valere tale fattore in una bomba? Quanto deve valere in un reattore?
Sostituisci $N_0 = 1$, $\tau = 10^{-8}$ e $k = 2{,}1$ nella funzione $N(t)$. La funzione descrive una bomba oppure un reattore nucleare? Traccia un grafico approssimativo della funzione.
Quante reazioni di fissioni avvengono dopo 1 millesimo di secondo?
Se l’energia liberata da ogni fissione vale, in media, $200 \, \text{MeV}$ (nota $1 \, \text{Mev} \approx 1{,}6 \times 10^{-13} \, \text{J}$), quanta energia è prodotto al tempo $t = 0{,}001$ (non è richiesto il calcolo dell’energia prodotta fino al tempo $t = 0{,}001$, ma solo l’energia prodotta in quell’istante di tempo).
Dopo quanto tempo il numero di neutroni liberi supera i mille miliardi?

7. La terra trema

AD La relazione empirica standard (conosciuta come formula di Gutenberg-Richter) che lega l’energia irradiata sotto forma di onde sismiche ($E$) e la magnitudo ($M$) è descritta dalla seguente equazione logaritmica:

$\log_{10} E = 4.8 + 1.5M$

Calcola la magnitudo di un terremoto tramite cui sono stati irradiati $3{,}5 \cdot 10^11 \, \text{J}$ di energia.
Verifica che $E = 10^{(1{,}5 \cdot M + 4{,}8)}$.
Calcola l’energia liberata da un terremoto di magnitudo 4 e da uno di magnitudo 6.
Quante volte è più grande l’energia di un terremoto di magnitudo 6 rispetto a uno di magnitudo 4? E rispetto a uno di magnitudo 5?
Dimostra che aumentando la magnitudo di 1 unità, l’energia liberata aumenta di un fattore costante. Quanto vale questo fattore? (Approssima il risultato a un numero intero).

8. Svalutation

PD+ Hai appena acquistato un’automobile nuova al prezzo di 25’000€. Si stima che il valore dell’auto si deprezzi (diminuisca) del 15% ogni anno rispetto al valore dell’anno precedente.

Scrivi la funzione $V(t)$ che esprime il valore dell’auto dopo $t$ anni.
Quale sarà il valore approssimativo dell’auto dopo 5 anni?
Dopo quanto tempo il valore dell’auto scenderà sotto i 5’000€? Imposta la disequazione corretta.
Confronta questo modello con un deprezzamento lineare in cui l’auto perde una cifra fissa di 3’000€ ogni anno. Dopo quanti anni il modello esponenziale diventa più “vantaggioso” (ovvero l’auto mantiene un valore più alto) rispetto al modello lineare?

9. Luce negli abissi

D L’intensità della luce solare I che penetra nell’acqua oceanica decresce esponenzialmente con la profondità $x$ (misurata in metri). La legge che descrive il fenomeno è nota come Legge di Beer-Lambert ed è del tipo $I(x)=I_0 \cdot e^{−kx}$ , dove $I_0$ è l’intensità in superficie. Supponiamo che in un certo oceano l’intensità si riduca della metà ogni 10 metri di profondità.

Determina il valore del coefficiente $k$ (suggerimento: imposta $I(10)=\frac{1}{2}I_0$ ).
Quale funzione descrive la percentuale di luce residua rispetto alla superficie in funzione della profondità?
A quale profondità l’intensità luminosa è ridotta all’1% di quella iniziale? Scrivi un’equazione per rispondere alla domanda e prova a risolverla graficamente o con WolframAlpha.
Traccia un grafico qualitativo di $I(x)$ assumendo $I_0 = 100$.

10. Tornasole

In chimica, si definisce acida una sostanza in grado di cedere ioni positivi. Il $\text{pH}$ è una grandezza fisica impiegata nella misura dell’acidità di una sostanza allo stato liquido o gassoso. Il $\text{pH}$ è definito da

$$ \text{pH} = -\log_{10} [H^+] \, , $$

dove $[H^+]$ rappresenta la concentrazione di ioni $H^+$ (ovvero ioni positivi dell’idrogeno) nella sostanza, misurata in moli per litro. Minore è il $\text{pH}$, maggiore è l’acidità.

Calcola il $\text{pH}$ dell’aceto, per cui $[H^+] = 0{,}00125 \, \text{moli}/\text{L}$.
Calcola la concentrazione degli ioni $H^+$ nella liscivia, avente $\text{pH} = 13{,}5$.
Rispetto alla liscivia, di quanto maggiore o minore è la concentrazione degli ioni $H^+$ in una sostanza con $\text{pH} = 14{,}5$?