1. Diramazioni
Nei primi anni di vita, una pianta cresce nel modo seguente: ogni anno da ogni ramo spuntano 3 nuovi rami; inizialmente la pianta ha 2 rami.
- Quale funzione descrive il numero di rami terminali $r$ in funzione del tempo $t$?
- Se la pianta continuasse a crescere nel modo descritto, quanti rami terminali avrebbe dopo 20 anni?
- Traccia un grafico approssimativo della funzione $r(t)$.
- Dopo quanto tempo la pianta avrà 4374 rami terminali? Scrivi un’equazione per rispondere a questa domanda: prova a risolverla, quindi verifica la correttezza usando WolframAlpha.
2. Ardua scelta
Scrollando su un qualche social, ti imbatti nel seguente post (pensato per fare engagement-baiting):
Preferisci 2 miliardi di euro subito oppure 1 euro che raddoppia ogni giorno?
- Qual è la scelta migliore a lungo termine?
- Dopo quanti giorni la seconda opzione diventa più vantaggiosa della prima? Scrivi una disequazione per rispondere alla domanda: prova a risolverla, quindi verifica la correttezza con WolframAlpha.
- Scrivi due funzioni $S_1$ e $S_2$ per rappresentare le due scelte al variare del tempo $t$ (espresso in giorni).
- Rappresenta la situazione con un grafico cartesiano. A cosa corrisponde il punto di intersezione tra i due grafici?
Una altro post — decisamente più sofisticato — recita invece quanto segue:
Preferisci un investimento di 2000€ a capitalizzazione semplice con un interesse del 10% annuo oppure un investimento di 2000€ a capitalizzazione composta con un interesse del 2% annuo?
- Scrivi due funzioni per rappresentare i montanti $M_1$ e $M_2$ al variare del tempo $t$ (espresso in anni), quindi rappresentale.
- Qual è l’investimento più vantaggioso nel breve termine? E nel lungo termine?
- Dopo quanti anni il secondo investimento diventa più vantaggioso? Scrivi una disequazione per rispondere alla domanda: prova a risolverla, quindi verifica la correttezza con WolframAlpha. Cosa noti? È semplice risolvere algebricamente la disequazione? Come puoi risolverla graficamente?
3. Deconcentrazioni farmaceutiche
$C(t) = 30 \cdot 0.7^t$ descrive la concentrazione nel sangue del paracetamolo (espressa in µg/mL — ovvero microgrammi per millilitro) in funzione del tempo (espresso in ore). L’istante di tempo $t = 0$ corrisponde al momento, successivo all’assunzione, in cui la concentrazione è massima.
- Qual è la concentrazione iniziale del farmaco?
- Come varia ogni ora la concentrazione del farmaco?
- Traccia un grafico approssimativo di $C(t)$.
4. Chill out!
Quando un oggetto a temperatura $T_0 = 85^\circ$ — posto in un ambiente a temperatura $T_\text{amb} = 20^\circ$ — si raffredda, la sua temperatura decresce esponenzialmente. Dopo ogni minuto, la temperatura diventa il 75% della temperatura precedente.
- Quale funzione descrive la temperatura dell’oggetto $T$ in funzione del tempo $t$?
- Qual è la temperatura dell’oggetto dopo un’ora? Dopo due ore?
- Traccia un grafico approssimativo della funzione $T(t)$.
- Dopo quanto tempo la concentrazione diventa 0.7% del valore iniziale?
5. Problemi di memoria
Lo psicologo Ebbinghaus studiò, alla fine dell’Ottocento, il declino della memoria nel tempo. In un certo soggetto, la capacità di recuperare certe informazioni acquisite dalla memoria $R$ è descritta, al variare del tempo $t$ (dove $t = 0$ è corrisponde al momento di acquisizione dell’informazione) dalla funzione $R(t)$ il cui grafico è sotto riportato (curva dell’oblio). Il tempo è espresso in giorni e $R$ in percentuale rispetto alla capacità iniziale (100%).
- Qual è la capacità di recuperare informazioni al momento dell’acquisizione delle informazioni? Quanto vale $R$ dopo un giorno dall’acquisizione dell’informazione?
- $R$ non scende mai sotto quale valore?
- Scrivi la definizione algebrica di $R(t)$.
- Dopo quanto tempo la capacità di recuperare informazione scende al di sotto del 30% della capacità iniziale?