Variazioni quadrate
Considera il seguente problema:
Dopo aver aumentato di 3 unità il lato di un quadrato, la sua area misura 10 unità quadre. Quanto misurava originariamente il lato del quadrato?
- Risolvi il problema.
- Rappresenta il problema tramite un’equazione, risolvila e verifica se le soluzioni dell’equazione coincidono con la soluzione del problema e se sono geometricamente accettabili.
- Aiutandoti eventualmente con Desmos, GeoGebra o software simili, rappresenta graficamente l’equazione che modellizza il problema e visualizza le soluzioni.
Considera ora l’equazione $x^2 + 6x - 1 = 0$. Essa risolve il medesimo problema. Sei d’accordo?
Inventa un problema che possa essere modellizzato mediante l’equazione $(2x - 1)^2 = 9$, riscrivi tale equazione nella forma $ax^2 + bx + c = 0$ e rappresenta graficamente le soluzioni.
Completamento del quadrato
Scrivi un problema geometrico che possa essere risolto mediante l’equazione $x(x + 6) = 1$. Rappresenta graficamente l’equazione e le sue soluzioni.
- Sussiste una qualche relazione tra questo ultimo problema da te inventato e quello di partenza (nel riquadro) e, di conseguenza, tra l’equazione $x(x + 6) = 1$ e quella che modellizza il problema di partenza?
- Scrivi l’equazione $x(x + 6) = 1$ nella forma $ax^2 + bx + c = 0$.
- Quali passaggi ti conducono a scrivere $x(x + 6) = 1$ nella forma $(\alpha x + \beta)^2 = \gamma$, dove $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ sono dei numeri reali? Perché scrivere l’equazione nella forma $(\alpha x - \beta)^2 = \gamma$ ti aiuta a risolverla algebricamente?
Considera ora il seguente problema:
L’area di una piazza oblunga misura 8 dam². Il lato lungo della piazza supera di 4 decametri il quadruplo del lato corto. Determina la lunghezza del lato corto della piazza.
- Risolvi il problema.
- Modellizza il problema con un’equazione, converti l’equazione nella forma $ax^2 + bx + c = 0$ e nella forma $(\alpha x + \beta)^2 = \gamma$, quindi risolvi algebricamente l’equazione e rappresentala graficamente.
La tecnica algebrica che consente di trasformare un’equazione $ax^2 + bx + c = 0$ nella forma $(\alpha x + \beta)^2 = \gamma$ è detto completamente del quadrato.