Una raccolta di quesiti, quiz e problemi sulle equazioni di secondo grado.
Quesiti
- Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado con un metodo algebrico. Non è richiesto l’uso della formula risolutiva. Rappresenta graficamente l’equazione e la soluzione (dove possibile), quindi verifica la correttezza del grafico e della soluzione usando Desmos, GeoGebra, Wolfram Alpha o software simili.
- $x^2 = 4$
- $2x^2 + x = 0$
- $x^2 + 3 = 0$
- $3x^2 = 0$
- $5x^2 - 10 = 0$
- $(x + 1)^2 = -1$
- $x^2 = 5x$
- $(2x - 2)^2 = 5$
- $x^2 + 9 = 7$
- $3x(x + 3) = 2x(x + 2)$
- $x^2 + 4x + 3 = 0$
- $x(x - 7) = 12$
- $x^2 - 9 = 0$
- $x^2 - 2x = 1$
- Per ciascuna delle seguenti equazioni, inventa un problema che possa essere risolto mediante l’equazione, quindi risolvilo.
- $2x^2 = 72$
- $x^2 = 2x(x + 1)$
- $(x + 3)^2 = 16$
- $(10 - x)^2 = 3$
- $(x + 1)(x - 1) = x^2$
- $x(x + 2) = 7$
- $x^2 - 4x = 12$
- Quali numeri occorre addizionare ai seguenti binomi per trasformarli in quadrati perfetti?
- $x^2 - 2x$
- $x^2 + 6x$
- $12x + x^2$
- $2x^2 + 20x$
- $x^2 + 7x$
- Risolvi le seguenti equazioni con la tecnica di completamento del quadrato.
- $x^2 - 12x = -40$
- $x(2 - x) = 8$
- $10 - 4x = 2x^2$
- $16 = x^2 + 16x$
Quiz
- Quale delle seguenti espressioni corrisponde al grafico in figura? Puoi rispondere a questa domanda senza l’ausilio di strumenti informatici.
- (a) $y = x^3 -3x^2 + 2x$
- (b) $y = x^4 - 3x + 2$
- (c) $y = x^7 - 3x^2 + 2$
- (d) $y = x^5 - 3x^3 +2x$
- (e) Nessuna delle precedenti opzioni.
- Quali delle seguenti affermazioni relative alle equazioni di grado $n$ non sono corrette?
- (a) Ammettono sempre $n$ soluzioni, reali o complesse.
- (b) Ammettono sempre $n$ soluzioni reali, eventualmente uguali a zero.
- (c) Ammettono al massimo $n$ soluzioni reali.
- (d) Ammettono da 1 a $n$ soluzioni, se $n$ è dispari.
- (e) Possono non ammettere soluzioni reali se $n$ è dispari.
- Quali tra le seguenti equazioni è rappresentata nel grafico?
- (a) $x^2 - 1 = x^3 - x$
- (b) $x^3 - 1 = 0$
- (c) $x^3 - x^2 - x = 0$
- (d) $x^2 - 1 = x^3$
- (e) Nessuna delle precedenti opzioni.
- Quali sono le soluzioni (o la soluzione) dell’equazione $4x^4 - 4x^3 = 4x - 5x^2 - 1$ ?
- (a) $x = \dfrac{1}{2}$
- (b) $x = \pm\dfrac{1}{2}$
- (c) $x = -\dfrac{1}{2} \; \lor \; x = 1$
- (d) $x = -1 \; \lor \; x = \dfrac{1}{2}$
- (e) Nessuna delle precedenti opzioni.
Problemi
- I quadrati costruiti sui due cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 16 cm² e 25 cm². Quanto misura l’ipotenusa del rettangolo?
- Una piazza quadrata è circondata da una strada larga 3 m. L’area totale della piazza e del manto stradale circostante è 500 m². Qual è l’area della sola piazza?
- In un triangolo rettangolo, un cateto supera di 5 cm l’altro cateto e l’ipotenusa misura 9 cm. Quanto misurano i cateti del triangolo?
- I lati di un foglio rettangolare misurano 10 cm e 15 cm rispettivamente. Ritagliando la rettangolo un bordo di spessore incognito, l’area rimanente misura 104 cm². Qual è lo spessore del bordo ritagliato?
- Tre punti, $A$, $B$ e $C$, sono disposti sul piano cartesiano in modo da formare un triangolo isoscele. Determina le coordinate dei punti, noti i seguenti fatti:
- il lato obliquo supera di 2 unità la base;
- la base $AB$ è parallela all’asse x;
- $C = (1, 12)$;
- l’altezza misura 14 unità.
- Il punto $A$ giace sull’asse $x$. La distanza di $A$ dal punto $B = (2, 4)$ misura 10 unità. Quali sono le coordinate del punto $A$ ?
Soluzioni dei quesiti
- Di seguito sono riportate le soluzioni di alcuni quesiti, ricavate per via algebrica, con spiegazione.
- Noto che è presente il termine numerico ma non il termine con $x$, quindi l’obiettivo è isolare $x^2$. Fortunatamente, è già isolata, quindi basta trovare immediatamente le soluzioni $x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$, infatti sia +2 sia -2 elevati alla seconda danno come risultato 4.
- Noto che è presente il termine con $x$ ma non il termine numerico, quindi fattorizzo (raccolgo/scompongo) il binomio e ottengo $x(2x + 1) = 0$, quindi $x = 0 \; \lor \; 2x + 1 = 0$, ovvero $x = 0 \; \lor \; x = -\frac{1}{2}$.
- Noto che è presente il termine numerico ma non il termine con la $x$, quindi trasporto +3 dall’altro lato dell’equazione e trovo $x^2 = -3$, che non ha soluzioni reali, perché non esiste un numero reale che, elevato alla seconda, dia come risultato un numero negativo.
- Dividendo ambo i lati per 3 si ottiene $\dfrac{3x^2}{3} = \dfrac{0}{3}$, ovvero $x^2 = 0$, quindi $x = \pm \sqrt{0} = 0$.
- Noto che è presente il termine numerico ma non il termine con $x$, quindi isolo la $x$ trasportando il 10 dall’altro lato e dividendo per 5 ambo i lati, ovvero $\dfrac{5x^2} 5 = \dfrac{10} 5 \; \Rightarrow \; x^2 = 2$. Quindi $x = \pm \sqrt{2}$.
- Noto che nel lato sinistro dell’equazione è presente una certa quantità incognita, $x + 1$, elevata alla seconda. Quindi non può essere negativa. Invece, a destra è presente -1, che è un numero negativo. Non esistono soluzioni reali perché nessun numero reale elevato alla seconda dà come risultato un numero negativo.
- Noto che è presente il termine con $x$ ma non quello numerico, quindi trasporto tutto da un lato e fattorizzo, ottenendo $x(x - 5) = 0$. Ne deduco che $x = 0 \; \lor \; x = 5$.
- Una certa quantità incognita, $2x - 2$, elevata alla seconda dà come risultato 5, quindi $2x - 2 = \pm \sqrt{5}$. Ora ricavo il valore di $x$ trasportando -2 dall’altro lato dell’equazione e dividendo per 2, ovvero $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{5}} 2$.
- Di seguito sono riportate le soluzioni di alcuni quesiti, ricavate per via algebrica, con spiegazione, e un problema di esempio.
- Manca il termine con $x$ ma è presente il termine numerico, quindi basta isolare $x^2$ dividendo ambo i lati per 2, quindi trovo $x = \pm \sqrt{36} = \pm 6$. L’equazione risolve il seguente problema: in una città sono presenti due piazze quadrate identiche, la cui area complessiva ammonta a 72 dam²; quanto misura il lato di ciascuna delle piazze?
- Non noto alcuna forma riconoscibile. Quindi svolgo qualche conto e sposto tutti i termini da un lato dell’equazione, ottenendo $-x^2 - 2x = 0$. Cambio tutti i segni: $x^2 + 2x = 0$. Fattorizzo, ottenendo $x(x + 2) = 0$, quindi $x = 0 \; \lor \; x = -2$. L’equazione risolve il seguente problema: esiste un numero intero positivo tale che il doppio del numero moltiplicato per il numero aumentato di 1 è uguale al quadrato del numero?
- Una certa quantità incognita, $x + 3$, elevata alla seconda dà come risultato 16, quindi $x + 3 = \pm 4$, da cui ricavo $x = -3 \pm 4$, ovvero $x = -3 - 4 = -7$ oppure $x = -3 + 4 = 1$. L’equazione risolve il seguente problema: dopo aver aggiunto a quadrato un bordo di spessore 1,5 cm, l’area del quadrato bordato misura 16 cm²; quanto misurava il lato del quadrato di partenza?
- In modo analogo all’equazione precedente, ricavo $10 - x = \pm \sqrt{3}$, quindi $-x = -10 \pm \sqrt{3}$, ovvero, cambiando i segni, $x = 10 \mp \sqrt{3}$. Le due soluzioni sono $x = 10 - \sqrt{3}$ e $x = 10 + \sqrt{3}$. L’equazione risolve il seguente problema: sottraggo da 10 un numero, poi elevo il risultato alla seconda e trovo 3; quale numero avevo sottratto a 10?
Soluzioni dei quiz
- (d)
- (b), (e)
- (a)
- (a)