Il trinomio $x^2 - 4x + 4$ è un quadrato di binomio perché $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Quale termine numerico bisognerebbe addizionare al binomio $x^2 - 6x$ per trasformarlo in un quadrato di binomio, ovvero per completare in quadrato? Suggerimento: nota che -6x è il doppio prodotto di x per un numero; stai cercando il quadrato di questo numero.
Considera ora l’equazione di secondo grado $x^2 - 6x + 7 = 0$. Se si $x^2 - 6x + 7$ fosse un trinomio speciale, potremmo scomporlo e quindi risolvere l’equazione. Purtroppo non si tratta di un trinomio speciale: verifica che non esistono due numeri interi la cui moltiplicazione dà come risultato 7 e la cui addizione equivale a -6.
Proviamo quindi a risolvere l’equazione tramite la tecnica del completamento del quadrato.
- Spostiamo +7 dall’altro lato dell’equazione, ottenendo $x^2 - 6x = -7$.
- Individuiamo il numero che occorre aggiungere a $x^2 - 6x$ per completare il quadrato.
- Addizioniamo tale numero da ambo i lati dell’equazione: $x^2 - 6x + \dotsc = -7 + \dotsc$
- Quindi scriviamo il trinomio nel lato sinistro come il quadrato di un binomio $(x - \dotsc)^2 = -7 + \dotsc$
- Risolviamo l’equazione con la tecnica nota: $x - \dotsc = \pm \sqrt{\dots} \; \Rightarrow \; x = \dotsc \pm \sqrt{\dotsc}$
Prova ora a risolvere autonomamente l’equazione $x^2 + 2x + 5 = 0$ con il metodo di completamento del quadrato. Ripercorri gli step dell’esercizio guidato.
In modo analogo, risolvi il seguente problema, che può essere risolto dall’equazione $x \cdot (x + \dotsc) = \dotsc$
Il lato maggiore di un rettangolo supera di 5 unità la lunghezza del lato minore. L’area del rettangolo misura 7 unità quadre. Determina la lunghezza dei lati del rettangolo.
Infine, inventa un problema che possa essere risolto mediante l’equazione $x(x - 5) = 10$ e risolvilo.
Soluzioni
Il numero che completa il quadrato nel caso di $x^2 - 6x$ è 9, infatti $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$. Per trovare il numero occorre notare che $-6x$ deve essere il doppio prodotto di $x$ per un numero: tale numero è -3, infatti $2 \cdot x \cdot (-3) = -6x$, quindi dobbiamo aggiungere $(-3)^2$, ovvero 9, per completare il quadrato.
Per risolvere $x^2 - 6x + 7 = 0$ con il metodo di completamento del quadrato procediamo nel modo seguente:
- $x^2 - 6x = -7$
- Il termine numerico che occorre per completare $x^2 - 6x$ in un quadrato è 9.
- $x^2 - 6x + 9 = -7 + 9$
- $(x - 3)^2 = -7 + 9$, ovvero $(x - 3)^2 = 2$
- Risolvo l’equazione di secondo grado: $x - 3 = \pm \sqrt{2} \; \Rightarrow \; x = 3 \pm \sqrt{2}$.
Per risolvere l’equazione $x^2 + 2x + 5$ procediamo in modo analogo:
- $x^2 + 2x = -5$
-
- Il termine numerico che occorre per completare $x^2 + 2x$ in un quadrato è 1.
- $x^2 + 2x + 1 = -5 + 1$
- $(x + 1)^2 = -4$
- L’equazione non ha soluzione reale, perché $\sqrt{-4}$ non è un numero reale.
Per risolvere il problema procediamo nel modo seguente.
- Chiamiamo $x$ il lato minore del rettangolo. Allora il lato maggiore misura $x + 4$
- L’area del rettangolo si calcolo moltiplicando tra di loro i lati, ovvero $x \cdot (x + 4)$
- Sappiamo che l’area misura 7 unità quadre (si possono ignorare le unità di misura), quindi $x \cdot (x + 4) = 7$
Purtroppo non c’è un modo diretto per risolvere l’equazione. Proviamo a scriverla nella forma $ax^2 + bx + c = 0$ e verifichiamo se $ax^2 + bx + c$ è un trinomio speciale.
- Otteniamo $x^2 + 4x - 7 = 0$
- Esistono due numeri interi la cui moltiplicazione dà come risultato -7 e la cui addizione dà come risultato 4? Purtroppo no.
- Procedo con il completamento del quadrato. Scriviamo $x^2 + 4x = 7$
- Per completare il quadrato occorre aggiungere da ambo i lati il numero 4, quindi otteniamo $x^2 + 4x + 4 = 7 + 4$, ovvero $(x + 2)^2 = 11$.
- Ricaviamo $x + 2 = \pm\sqrt{11}$, ovvero $x = -2 \pm \sqrt{11}$.
Un problema che può essere risolto dall’equazione $x(x - 5) = 10$ è il seguente:
Un rettangolo ha area 10 cm². Un lato è 5 cm più corto dell’altro. Quanto misurano i lati del rettangolo.
Per risolverlo si procede in modo analogo a prima.