Alla scoperta della parabola
Il coefficiente a
Calcola $y = x^2$ per i valori di $x$ indicati nella tabella, rappresenta quindi i punti sul piano cartesiano e traccia un grafico approssimato della parabola. Calcola ora $y = -x^2$ per i medesimi valori e disegna, nello stesso piano cartesiano, il grafico approssimato della parabola corrispondente.
- Cosa osservi?
| $x$ | $y = x^2$ | $y = -x^2$ |
|---|---|---|
| -3 | ||
| -2 | ||
| -1 | ||
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Esploriamo ora i grafici delle due parabole di equazione $y = \dfrac{1}{4} x^2$ e $\, y = 2x^2$ rispettivamente.
- Ipotizza la forma dei due grafici. Una volta formulata una congettura, verificala usando Desmos o GeoGebra.
Su Desmos o GeoGebra, rappresenta il grafico della parabola di equazione $y = ax^2$, dove il valore di $a$ è controllato da uno slider. Fai variare il coefficiente $a$.
- Cosa osservi? Al variare di $a$, quale proprietà della parabola viene modificata?
- Cosa succede al grafico della parabola:
- per $a > 0$?
- al crescere di $a$ positivo?
- per $a < 0$?
- al decrescere di $a$?
- per $a = 0$?
- Riassumi schematicamente l’effetto del coefficiente $a$ sulla forma della parabola.
Il coefficiente c
Considera ora la parabola di equazione $y = x^2 + 1$.
- Ipotizza il grafico di $y = x^2 + 1$. Una volta formulata una congettura, verificala usando Desmos o GeoGebra.
Su Desmos o GeoGebra, rappresenta il grafico della parabola di equazione $y = ax^2 + c$, dove i valori di $a$ e di $c$ sono controllati da uno slider. Fai variare il coefficiente $c$.
- Cosa osservi? Al variare di $a$, quale proprietà della parabola viene modificata?
- Qual è il punto di intersezione della parabola con l’asse $y$? Dipende dal valore di $a$? Rispondi anche tramite l’ausilio di Desmos o GeoGebra.
- Riesci ad individuare una regola generale che leghi il coefficiente $c$ all’intersezione della parabola con l’asse $y$?
- Qual è l’asse di simmetria di tutte le parabole del tipo $y = ax^2 + c$ ? Qual è il vertice?
Sulla base di quanto appreso, traccia il grafico approssimativo di $y = -x^2 + 5$.
Il coefficiente b
Considera la parabola di equazione $y = x^2 - 6x + 5$.
- Quali sono i punti (o il punto) di intersezione della parabola con l’asse $x$?
- Quali sono i punti (o il punto) di intersezione della parabola con l’asse $y$?
- Sulla base dei punti di intersezione con gli assi e di quanto appreso in merito ai coefficienti $a$ e $c$, ipotizza il grafico della parabola, quindi verifica la sua correttezza usando Desmos o GeoGebra.
- Qual è l’equazione dell’asse di simmetria della parabola?
- Qual è il vertice della parabola?
Su Desmos o GeoGebra, rappresenta il grafico della parabola di equazione $y = ax^2 + bx + c$, dove i valori di $a$, $b$ e $c$ sono controllati da uno slider. Fai variare i valori dei coefficienti e concentrati sulla relazione tra i valori di $a$ e $b$ e la forma del grafico.
- Cosa osservi?
- Al variare di $b$, quale proprietà della parabola viene modificata?
- Cambia il punto di intersezione con l’asse $y$?
- Cambiano i punti di intersezione con l’asse $x$?
- Cambia l’asse di simmetria della parabola?
- Se si varia $c$ e si mantengono costanti $a$ e $b$, cambia la forma della parabola? Cambia l’asse di simmetria?
- Considera la formula quadratica per risolvere le equazioni di secondo grado — che ricordo derivare dal metodo di completamento del quadrato: $x = \dfrac{-b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt \Delta}{2a}$. Cosa si ottiene sostituendo al posto di $a$, $b$ e $c$ i coefficienti della parabola?
- A partire dalla formula quadratica, riesci a dedurre l’equazione dell’asse di simmetria?
Rappresenta ora la retta di equazione $y = bx + c$.
- Cosa osservi? Che relazione sussiste tra la retta $y = bx + c$ e $y = ax^2 + bx + c$? La relazione è valida per ogni valore di $a$, $b$ e $c$? Bonus: sapresti dimostrare questa proprietà?
- Alla luce della tua osservazione, cosa rappresenta il coefficiente $b$ della parabola?
Considera la parabola di equazione $y = -0.1x^2 + 0.4x - 0.1$ e la retta di equazione $y = 0.4x - 0.1$. Rappresenta i due grafici su Desmos.
- Se la retta di equazione $y = 0.4x - 0.1$ rappresentasse il grafico tempo-posizione di un oggetto che si muove su una linea retta, come si muoverebbe tale oggetto?
- Che cosa rappresentano fisicamente i numeri $0.4$ e $0.1$?
- Replica il moto tramite l’applicazione online motus.matephis.com.
Supponi adesso che anche l’equazione $y = -0.1x^2 + 0.4x - 0.1$ rappresenti il grafico tempo-posizione di un oggetto che si muove su una linea retta.
- Osserva il grafico della parabola su Desmos. Nell’istante di tempo iniziale, la velocità dell’oggetto è positiva, negativa o nulla? Quanto misura la velocità iniziale?
- Come dovresti muovere il punto per ottenere un grafico tempo-posizione avente la forma della parabola? Prova a replicarlo tramite l’applicazione online motus.matephis.com.