Esercizi sulla parabola

Esercizi, quesiti, quiz e problemi sulla parabola.

Cosa significano E, F, ecc.? Consulta la [[scala di difficoltà degli esercizi]].

Esercizi

  1. E Disegna il grafico delle seguenti parabole: abbozza innanzitutto il disegno tramite lo studio dei coefficienti, quindi perfeziona il disegno indicando chiaramente l’asse di simmetria della parabola, il vertice e i punti di intersezione con gli assi.
    1. $y = 3x^2 - 3$
    2. $y = -\dfrac{1}{2}x + 1$
    3. $y = x^2 + 5x$
    4. $y = -2x^2 - 10$
    5. $y = \dfrac{1}{2}x^2 + 5x - 5$
    6. $y = -3x^2 - x + 4$
    7. $y = x^2 - 2x - 15$
    8. $y = -x^2 + 2x + 15$
    9. $y = 0{,}2x^2 - 0{,}5x + 0{,}1$
    10. $y = \dfrac{5}{4} + \dfrac{4}{3}x - \dfrac{3}{2}x^2$
  2. Scrivi l’equazione delle parabole che rispettano i seguenti requisiti:
    1. E il grafico passa per $(0, 3)$, l’asse di simmetria è $x = -\frac 5 4$ e la pendenza della parabola in $(0, 3)$ è $5$;
    2. EE/F il grafico intercetta l’asse $y$ in $-1$, l’asse di simmetria è $x = 1$ e il vertice della parabola è $(1, -2)$.
    3. EE l’asse di simmetria è l’asse $y$, la parabola passa per $(0, -2)$ e per $(1, -1)$;
    4. PD la parabola passa per $(2, 2)$, la pendenza della parabola nel punto $(2, 2)$ è $-2$ e l’asse di simmetria è $x = 5$.
  3. EE Scrivi l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione $y = -x^2 + 4x + 2$ nel punto $(0, 2)$. Quindi traccia il grafico della retta e della parabola.
  4. D Scrivi l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione $y = -x^2 + 4x + 2$ nel punto $(1, 5)$, appartenente alla parabola. Quindi traccia il grafico della retta e della parabola.
  5. F Scrivi l’equazione di una parabola tangente alla retta di equazione $y = x + 5$ nel punto di intersezione con l’asse delle ordinate.
  6. TD- Scrivi l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione $y = x^2 - 2x + 1$ e passante per $(3,2)$. Può essere utile rispondere prima al quesito 10.
  7. PD Esistono rette passanti per $(-1,2)$ e tangenti alla parabola rappresentata nel grafico? Motiva la risposta. 
    {
  "data": [
 { "fn": "x^2+x-1" }
  ]
}
  8. EE Determina, in modo approssimativo, i punti di intersezione tra la parabola e la retta rappresentate in figura. Nota: puoi zoomare il grafico. 
    {
  "interactive": true,
  "data": [
 { "fn": "-0.5x^2+x+4", "color": "red1" },
 { "fn": "2+0.5x", "color": "black1" }
  ]
}
  9. EE/F Determina, con il metodo che più ritieni opportuno, i punti di intersezione tra la parabola di equazione $y = x^2 + x$ e la retta di equazione $y = 3x - 1$. Traccia il grafico della retta e della parabola e verifica la correttezza delle soluzioni.
  10. F+ Determina, con il metodo che più ritieni opportuno, gli eventuali punti di intersezione tra la parabola di equazione $y = x^2 + x$ e la retta rappresentata in figura. 
    {
  "data": [
{ "fn": "0.2x-3" }
  ]
}
  11. PD- Determina, con il metodo che più ritieni opportuno, gli eventuali punti di intersezione tra la parabola rappresentata in figura e la retta passante per i punti $(-1,1)$ e $(2,1)$. 
    {
  "data": [
{ "fn": "x^2" }
  ]
}
  12. EE/F Verifica se i seguenti punti appartengono al grafico della parabola di equazione $y = -x^2 + 3x - 2$.
    1. $(0, 0)$
    2. $(1, 0)$
    3. $(-1, -6)$
    4. $(2, 1)$
    5. $(2, 0)$
  13. EE/F Considera la relazione $y = 2x^2-2$. Per quale valore di $x$ la variabile dipendente $y$ vale $5$? Rispondi fornendo anche un’interpretazione grafica.
  14. E Considera la relazione $y = -x^2 + 3$. Quanto vale $y$ quando $x = 0{,}5$.
  15. F Considera la parabola di equazione $y = -3x^2 + 6x + 2$. Completa, se possibile, le coordinate dei seguenti punti, in modo che appartengano alla parabola.
    1. $(0,\,\dotsc\,)$
    2. $(3,\,\dotsc\,)$
    3. $(-1,\,\dotsc\,)$
    4. $(\,\dotsc\,,0)$ e $(\,\dotsc\,,0)$
    5. $(\,\dotsc\,,-1)$ e $(\,\dotsc\,,-1)$
    6. $(\,\dotsc\,,4)$

Quesiti

  1. E Considera la famiglia di parabole descritta dall’equazione $y = ax^2 + c$. Analizza le seguenti affermazioni basate sull’uso di slider in un ambiente dinamico come Desmos. Individua l’affermazione falsa e spiega il perché.
    • (a) Al variare di $a$, cambia l’apertura della parabola: se a cresce positivamente la parabola diventa più “piccata” (stretta), se a decresce verso zero diventa più larga.
    • (b) Al variare di $c$, la parabola trasla orizzontalmente lungo l’asse $x$.
    • (c) L’asse di simmetria rimane sempre l’asse y (ovvero $x = 0$) per qualsiasi valore di $a$ e $c$.
  2. EE/F Considera l’equazione $x = −0.1t^2 + 0.4t − 0.1$ come il grafico tempo-posizione di un oggetto che si muove su una linea retta.
    • Velocità iniziale. Nell’istante di tempo iniziale ($t = 0$), quanto misura la velocità dell’oggetto? È positiva o negativa?
    • Posizione iniziale. A quale “metro” si trova l’oggetto all’istante $t = 0$?
    • Accelerazione. Il moto è accelerato o decelerato? L’accelerazione spinge l’oggetto nel verso positivo o negativo del moto?
    • Simulazione. Se dovessi replicare questo moto camminando, come dovresti muoverti? Descrivi i cambi di direzione e velocità.
  3. F Nel grafico sono rappresentati i grafici posizione-tempo di un’auto e di una moto, che si muovono parallelamente lungo una strada rettilinea. La persona che osserva l’auto e la moto è posizionata nel punto $x = 0$.
    • Dopo quanto tempo e in che posizione rispetto all’osservatore auto e moto si trovano affiancate?
    • Descrivi a parole in che modo si muovono l’auto e la moto. 
      {
  "xlim": [-0.9, 12.9],
  "ylim": [-19.9, 249.9],
  "axisLabels": ["t","x"],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "aspectRatio": "3:2",
  "legend": true,
  "legendWidth": 80,
  "data": [
 { "fn": "5x^2", "color": "red1", "domain": [0, 10], "label": "Moto" },
 { "fn": "30x", "color": "black1", "domain": [0, 10], "label": "Auto" }
  ]
}
  4. AD- Fai riferimento al quesito precedente.
    • Scrivi le equazioni della retta e della parabola, che descrivono il moto di auto e moto rispettivamente. La moto parte da ferma.
    • Verifica per via algebrica l’istante di tempo e la posizione in cui i due veicoli sono affiancati, identificati precedentemente per via grafica.
  5. D Considera la generica parabola di equazione $y = ax^2 + bx + c$. Verifica che la retta di equazione $y = bx + c$, tangente alla parabola, interseca la parabola in un solo punto, di coordinate $(0, c)$.
  6. PD- Spiega tramite controesempi che la retta tangente a una curva non è la retta che interseca la curva in un solo punto: con un primo controesempio presenta una retta tangente che interseca la curva in più punti; con un secondo controesempio, presenta una retta non tangente che interseca la curva in un solo punto.
  7. Una “nuova” equazione per la parabola PD Nel grafico è rappresentata la parabola di equazione $y = a(x - h)^2$. Fai variare il valore di $a$ e $h$, utilizzando gli slider, e spiega cosa osservi.
    • Come varia la forma della parabola al variare di $a$?
    • Come varia l’asse di simmetria della parabola al variare di $h$? Qual è l’equazione dell’asse di simmetria?
    • Costruisci la parabola avente asse di simmetria $x = -2$ e passante per il punto $(0, 2)$. Riscrivi l’equazione della parabola nella forma $y = ax^2 + bx + c$. 
      {
  "params": {
 "a": {"val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1},
 "h": {"val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1}
  },
  "data": [
 { "fn": "a(x-h)^2", "color": "#B01A00" }
  ]
}
  8. PD+ Fai riferimento all’esercizio precedente. Considera ora la parabola di equazione $y = a(x - h)^2 + k$. Fai variare il valore di $k$, utilizzando lo slider, e spiega cosa osservi.
    • Come varia il vertice della parabola al variare di $k$?
    • Quali sono le coordinate del vertice?
    • Costruisci la parabola avente vertice $(2, -3)$ e $a = 0{,}2$.
    • Costruisci la parabola avente vertice $(-2, 3)$ e passante per $(0, 5)$. Riscrivi l’equazione nella forma $y = ax^2 + bx + c$. 
      {
  "params": {
 "a": {"val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1},
 "h": {"val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1},
 "k": {"val": 0, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1}
  },
  "data": [
 { "fn": "a(x-h)^2+k", "color": "#B01A00" }
  ]
}
  9. AD Riscrivi l’equazione di una generica parabola $y = a(x - h)^2 + k$ nella forma $y = ax^2 + bx + c$.
    • A cosa equivalgono $b$ e $c$?
    • I risultati ottenuti in merito ad asse di simmetria e vertice della parabola di equazione $y = a(x - h)^2 + k$ sono compatibili con quelli noti in merito alla parabola di equazione $y = ax^2 + bx + c$?
  10. ED Scrivi l’equazione della retta tangente a una generica parabola di equazione $y = ax^2 + bx + c$ nel generico punto $(x_0, y_0)$, appartenente alla parabola. Come varia la pendenza della parabola al variare di $x_0$?
  11. F In quale punto della parabola cambia il segno della sua pendenza? In quale punto la pendenza è nulla?
  12. PD In figura è rappresentato il grafico della posizione $x$ (espressa in metri) di una pallina che viene mossa lungo una linea retta, in funzione del tempo $t$ (espresso in secondi). Descrivi a parole il moto della pallina. 
    {
  "xlim": [0,2],
  "ylim": [-1,1],
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  "showXTicks": true,
  "showYTicks": true,
  "axisLabels": ["t","x"],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "padding": 40,
  "data": [
{ "fn": "-x^2+x+0.5", "domain": [0,5] }
  ]
}

Quiz

  1. E Abbina le quattro parabole alle rispettive equazioni.
    • (i) $y = -x^2 + 3x - 2$
    • (ii) $y = x^2 + 3x - 2$
    • (iii) $y = -x^2 - 3x - 2$
    • (iv) $y = x^2 - 3x + 2$ 
      {
  "xStep": 5,
  "yStep": 5,
  "legend": true,
  "legendWidth": 50,
  "data": [
 { "fn": "-x^2+3x-2", "color": "red1", "label": "A" },
 { "fn": "x^2+3x-2", "color": "black1", "label": "B" },
 { "fn": "-x^2-3x-2", "color": "red1", "opacity": 0.6, "label": "C", "dash": "2,2" },
 { "fn": "x^2-3x+2", "color": "black1", "opacity": 0.6, "label": "D", "dash": "2,2" }
  ]
}
  2. F Abbina ognuna delle quattro parabole al fenomeno che descrivono. Nota: nel grafico del fenomeno “A che varia in funzione di B”, A è tipicamente rappresentato sull’asse delle ordinate e B sull’asse delle ascisse.
    • (i) La posizione verticale (espressa in m) di un pallone lanciato verso l’alto in funzione del tempo (espresso in s).
    • (ii) La posizione verticale (espressa in m) di un pallone lasciato cadere da fermo in funzione del tempo (espresso in s).
    • (iii) Il costo mensile di produzione di un’azienda (espresso in migliaia di euro) in funzione del numero di unità prodotte (espresso in migliaia di unità).
    • (iv) Lo spazio di frenata di un’automobile (espresso in m) in funzione della velocità (espressa in m/s). 
      {
"xlim": [-0.5,9.9],
"ylim": [-0.5,6.9],
"xStep": 5,
"yStep": 5,
"legend": true,
"legendWidth": 50,
"data": [
{ "fn": "-4.905x^2+3", "domain": [0,7], "color": "red1", "label": "A" },
{ "fn": "-4.905x^2+3x+3", "domain": [0,7], "color": "red1", "opacity": 0.6, "label": "B", "dash": "2,2" },
{ "fn": "0.002x^2+0.05x+5", "domain": [0,10], "color": "black1", "label": "C" },
{ "fn": "x+0.05x^2", "domain": [0,7], "color": "black1", "opacity": 0.4, "label": "D", "dash": "2,2" }
]
}
  3. E Considera la parabola di equazione $y=ax^2 + bx + c.$ Sappiamo che il coefficiente $b$ rappresenta la pendenza della retta tangente alla parabola nel punto di intersezione con l’asse $y$. Se osserviamo una parabola che passa per l’origine e in quel punto è decrescente, cosa possiamo dire dei suoi coefficienti?
    • (a) $c = 0$ e $b > 0$.
    • (b) $c \neq 0$ e $b < 0$.
    • (c) $c = 0$ e $b < 0$.
    • (d) $c = 0$ e $a < 0$.
  4. F Immagina che la parabola $y = ax^2 + bx + c$ rappresenti il grafico tempo-posizione di un oggetto che si muove su una linea retta. Se il coefficiente $a$ è negativo, cosa sta succedendo fisicamente all’oggetto?
    • (a) L’oggetto sta rallentando fino a fermarsi.
    • (b) L’oggetto si muove all’indietro.
    • (c) L’oggetto subisce un’accelerazione che lo “tira” verso il basso (o indietro), come se qualcuno lo tirasse per la maglia.
    • (d) La velocità iniziale dell’oggetto è negativa.
  5. T Data una parabola con equazione $y = ax^2 + bx + c$, quale condizione deve verificarsi affinché la parabola sia tangente all’asse delle ascisse (asse x)?
    • (a) $b^2 − 4ac > 0$
    • (b) $b^2 − 4ac = 0$
    • (c) $c = 0$
    • (d) $−2ab ​ =0$
  6. F Quale delle seguenti rette è tangente alla parabola di equazione $y = 4x^2 - 3x + 2$ nel punto $(0, 2)$?
    • (a) $y = 4x - 3$
    • (b) $y = -3x + 2$
    • (c) $y = +2$
    • (d) $x = - 3/2$
  7. AD- Quale delle seguenti parabole è tangente alla parabola di equazione $y = 4x^2 - 3x + 2$ nel punto $(0, 2)$?
    • (a) $y = \frac 1 4 x^2 - \frac 1 3 x + \frac 1 2$
    • (b) $y = 4x^2$
    • (c) $y = 5x^2 - 3x + 2$
    • (d) $x = -4x^2 + 3x - 2$
  8. E Quale tra le seguenti parabole interseca in $(2, 0)$ e $(3, 0)$ l’asse $x$?
    • (a) $y = x^2 - 5x - 6$
    • (b) $y = x^2 + 5x - 6$
    • (c) $y = x^2 + 2x + 3$
    • (d) $y = x^2 - 5x + 6$
  9. F+ In figura è rappresentata una parabola e la retta tangente alla parabola nel punto di intersezione con l’asse $y$. Qual è l’equazione della parabola?
    • (a) $y = 3x^2 - 2x + 2$
    • (b) $y = 3x^2 - x + 2$
    • (c) $y = 3x^2 - 3x + 2$
    • (d) $y = 3x^2 + 3x + 2$ 
      {
  "xlim": [-4.9,4.9],
  "ylim": [-2.9,6.9],
  "data": [
 { "fn": "3x^2-3x+2", "color": "red1" },
 { "fn": "-3x+2", "color": "black1", "dash": [2,2] }
  ]
}
  10. F- Quale tra i seguenti grafici rappresenta la relazione tra l’area di un quadrato $A$ e il lato $x$?
    • (a) Grafico A
    • (b) Grafico B
    • (c) Grafico C
    • (d) Non è possibile rispondere senza conoscere il valore del lato $x$. 
      {
"xlim": [-0.9,4.9],
"ylim": [-0.9,9.9],
"axisLabels": ["x","A"],
"axisLabelStyle": "italic",
"legend": true,
"data": [
{ "fn": "x^2", "color": "red1", "label": "A", "domain": [0,5] },
{ "fn": "x^2+x", "color": "red1", "dash": [2,2], "label": "B", "domain": [0,5] },
{ "fn": "x^2+1", "color": "black1", "label": "C", "domain": [0,5] }
]
}

Problemi

  1. PD+ Un pallina da tennis è lanciata verso l’alto alla velocità di 15 m/s (ovvero 54 km/h). La posizione verticale della pallina (misurata a partire da terra ed espressa in metri) in funzione del tempo (espresso in secondi) è descritta dalla seguente relazione: $y = -\frac{9{,}81}{2}t^2 + 15t + 0{,}8$.
    • Traccia il grafico posizione-tempo della pallina.
    • Da che altezza è stata lanciata la pallina?
    • Dopo quanto tempo la pallina raggiunge l’apice?
    • Quanto dista da terra l’apice?
    • Dove si troverà la pallina dopo 2 secondi dal lancio?
  2. PD Qual è il massimo prodotto che si può ottenere moltiplicando due numeri la cui somma è $26$? Quali sono i due numeri il cui prodotto è massimo?
  3. AD- Durante un esperimento, vengono misurate la compressione $x$ di una molla (espressa in m) e l’energia $E$ immagazzinata nella molla (espressa in joule, J). I dati raccolti sono riportati nel grafico.
    • Scrivi la più semplice relazione che consente di descrivere l’energia della molla in funzione della sua compressione.
    • Prevedi l’energia della molla in caso di compressione $x = 0{,}24 \text{ m}$.
    • Prevedi la compressione necessaria ad immagazzinare $32 \text{ J}$ di energia. 
      {
  "xlim": [-0.039,0.29],
  "ylim": [-3.9,29],
  "axisLabels": ["x","E"],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "data": [
 { "points": [[0,0],[0.05,1],[0.1,4],[0.15,9],[0.2,16],[0.25,25]], "color": "red1" }
  ]
}
  4. PD+ Pigmalione sfida Didone a delimitare, utilizzando 28 m di corda, un rettangolo con la maggior area possibile. Aiuta Didone a costruire tale rettangolo.
  5. PD Achille e la tartaruga competono in una gara di corsa, lungo una strada rettilinea. Achille parte da un albero (posizione $x = 0$), mentre alla tartaruga è concesso un vantaggio. La posizione (espressa in metri) di Achille in funzione del tempo (espresso in secondi) è descritta dall’equazione $x_A = 2t^2$, mentre la posizione della tartaruga è descritta da $x_T = 20 + 0{,}5t$.
    • Qual è il vantaggio della tartaruga in partenza?
    • A che velocità si muove la tartaruga?
    • Qual è la velocità iniziale di Achille?
    • Traccia un grafico della posizione di Achille e della tartaruga in funzione del tempo.
    • Dopo quanti secondi e in che posizione Achille raggiunge la tartaruga?
  6. D Una vettura si trova inizialmente alla distanza di 100 m prima di un incrocio (posizione $x = 0$). Nel grafico è rappresentata la posizione della vettura $x$ (espressa in metri) rispetto all’incrocio in funzione del tempo $t$ (espresso in secondi).
    • Descrivi a parole il moto della vettura.
    • L’auto si ferma all’incrocio? Dopo quanto tempo si ferma o transita presso l’incrocio?
    • Stima la velocità iniziale della vettura.
    • Sapendo che, nel caso del moto di un corpo la cui posizione in funzione del tempo è descritta da una parabola, l’accelerazione fisica corrisponde al doppio del coefficiente $a$ della parabola, determina l’accelerazione della vettura. 
      {
  "xlim": [-0.9,12.9],
  "ylim": [-100.9,9.9],
  "axisLabels": ["t","x"],
  "axisLabelStyle": "italic",
  "data": [
 { "fn": "-x^2+20x-100", "domain": [0,10], "color": "red1" },
 { "fn": "0", "domain": [10,13], "color": "red1" }
  ]
}
  7. PD+ L’energia ($E$, espressa in joule J) di un corpo in movimento, detta energia cinetica, è direttamente proporzionale al quadrato della velocità ($v$, espressa in m/s) del corpo. La costante di proporzionalità è la metà della massa ($m$, espressa in kg) del corpo.
    • Scrivi la relazione che lega $E$ a $v$.
    • Traccia un grafico approssimativo dell’energia di un’auto di massa 1500 kg in funzione della velocità.
    • Al raddoppiare della velocità, come varia l’energia della macchina? Quanto è più pericoloso viaggiare a 120 km/h rispetto a 60 km/h.
  8. [Rimosso per completezza]

La distanza di sicurezza

AD+ La distanza di sicurezza per l’arresto $D_A$ è data dalla somma della spazio di reazione $D_R$, ovvero lo spazio percorso nel tempo complessivo di reazione (percezione, riflessione, reazione, attuazione), e lo spazio di frenatura $D_F$. Ovvero, $D_A = D_R + D_F$.

Nei corsi di scuola guida viene solitamente spiegata un’espressione matematica che consente di stimare la distanza di sicurezza $D_A$ nel modo seguente:

  1. si stima lo spazio di reazione $D_R$ moltiplicando la velocità del veicolo $v$, espressa in km/h, per 3 e dividendola per 10;
  2. si stima lo spazio di frenatura $D_F$ calcolando il quadrato della velocità del veicolo $v$, espresso in km/h, e dividendolo per 100;
  3. si calcola la somma $D_R + D_F$.

Rispondi ai seguenti quesiti.

  • Scrivi un’unica espressione per calcolare $D_A$ a partire dalla velocità del veicolo $v$, espressa in km/h.
  • Quanto misura la distanza di sicurezza se si viaggia a 50 km/h? Quanto misura se si viaggia a 70 km/h?
  • La distanza di sicurezza è direttamente proporzionale alla velocità?
  • Traccia un grafico della distanza di sicurezza $D_A$ in funzione della velocità $v$.
  • A quale velocità la distanza di sicurezza misura 5 m?
Dobbiamo sapere, sapremo! - D. Hilbert