Il coefficiente a
Nel grafico è rappresentata la parabola di equazione $y = ax^2$. Fai variare il valore di $a$.
{
"padding": 5,
"align": "center",
"marginBottom": "20px",
"params": {
"a": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 }
},
"data": [
{ "fn": "ax^2" }
]
}
Il coefficiente $a$ determina la forma della parabola.
- Se $a$ è positivo, la parabola sorride; se $a$ è negativo, la parabola è triste.
- Più $a$ è distante da zero, più la parabola è piccata (stretta); più è vicino a zero, meno la parabola è piccata (ovvero, è larga).
- Dal punto di vista fisico, se la parabola è un grafico tempo-posizione, $a$ è associato all’accelerazione dell’oggetto in movimento. L’accelerazione descrive come varia la velocità: immaginate che l’oggetto in movimento sia tirato verso l’alto se $a$ è positivo, verso il basso se $a$ è negativo. Nota: il fatto che l’oggetto sia tirato in una direzione non significa necessariamente che si muova sempre in quella direzione: ad esempio, se corri in avanti, ma qualcuno ti tira per la maglia all’indietro, continuerai a correre in avanti per un po’, poi ti fermerai, poi inizierai a cadere all’indietro.
{
"padding": 5,
"align": "center",
"legend": true,
"labelStyle": "italic",
"legendWidth": 110,
"data": [
{ "fn": "x^2", "color": "red1", "label": "$y = x^2$" },
{ "fn": "2x^2", "color": "red1", "dash": "2,2", "label": "$y = 2x^2$" },
{ "fn": "0.5x^2", "color": "red1", "dash": "3,3", "label": "$y = \\frac{1}{2}x^2$" },
{ "fn": "-x^2", "color": "black1", "label": "$y = -x^2$" }
]
}
Il coefficiente b
Nel grafico è rappresentata la parabola di equazione $y = ax^2 + bx$ e la retta di equazione $y = bx$. Fai variare il valore di $b$. Prova a zoomare sull’origine.
{
"padding": 5,
"align": "center",
"marginBottom": "20px",
"interactive": true,
"params": {
"a": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 },
"b": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 }
},
"data": [
{ "fn": "ax^2 + bx" },
{ "fn": "bx", "color": "black1", "dash": "3,3" },
{ "points": [[0, 0]], "radius": 4, "fillColor": "#000", "strokeColor": "#fff", "strokeWidth": 2 }
]
}
Il coefficiente $b$ è la pendenza iniziale della parabola, ovvero la sua pendenza nel punto di intersezione con l’asse $y$.
- Se $b$ è positivo, la parabola inizialmente cresce; se $a$ è negativo la parabola inizialmente decresce.
- Il valore di $b$ è la pendenza della retta tangente alla parabola nel punto di intersezione con l’asse $y$, che avrà equazione $y = bx + c$.
- Variando $b$, la parabola è spostata a destra o a sinistra. Se $a$ e $b$ sono concordi, l’asse di simmetria della parabola è spostato a sinistra dell’asse $y$, se $a$ e $b$ sono discordi, l’asse di simmetria è spostato a destra.
- Dal punto di vista fisico, se la parabola è un grafico tempo-posizione, $b$ è la velocità iniziale dell’oggetto in movimento.
{
"xlim": [-4.9,4.9],
"ylim": [-1.9,7.9],
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"align": "center",
"legend": true,
"labelStyle": "italic",
"renderOrder": "numbers-top",
"data": [
{ "fn": "x^2 + x", "color": "red1", "label": "$y = x^2 + x$" },
{ "fn": "x", "domain": [-1, 1], "color": "red1", "dash": "3,3", "label": "$y = x$" },
{ "fn": "x^2 - x", "color": "black1", "label": "$y = x^2 - x$" },
{ "fn": "-x", "domain": [-1, 1], "color": "black1", "dash": "3,3", "label": "$y = -x$" },
{ "points": [[0, 0]], "radius": 4, "fillColor": "#000", "strokeColor": "#fff", "strokeWidth": 2 }
]
}
Osservare come la parabola di equazione $y = x^2 + x$ ha pendenza 1 (positiva) nell’origine ed è infatti tangente alla retta di equazione $y = x$; la parabola di equazione $y = x^2 - x$, invece, ha pendenza -1 (negativa) nell’origine ed è tangente alla retta di equazione $y = -x$.
Il coefficiente c
Nel grafico è rappresentata la parabola di equazione $y = ax^2 + bx + c$. Fai variare il valore di $c$.
{
"padding": 5,
"align": "center",
"marginBottom": "20px",
"params": {
"a": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 },
"b": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 },
"c": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 }
},
"data": [
{ "fn": "ax^2+bx+c" },
{ "points": [[0,"c"]], "radius": 4, "fillColor": "red1", "strokeColor": "#fff", "strokeWidth": 2 }
]
}
Il coefficiente $c$ è l’intercetta, il “punto iniziale”, della parabola.
- La parabola interseca l’asse $y$ nel punto $(0, c)$.
- Variando $c$, la parabola è traslata in verticale: verso l’alto se $c$ cresce; verso il basso se $c$ decresce.
- Dal punto di vista fisico, se la parabola è un grafico tempo-posizione, $c$ è la posizione di partenza dell’oggetto in movimento.
{
"xlim": [-2.9,2.9],
"ylim": [-1.9,3.9],
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"align": "center",
"legend": true,
"labelStyle": "italic",
"data": [
{ "fn": "x^2+2", "color": "red1", "label": "$y = x^2 + 2$" },
{ "fn": "x^2+1", "color": "red1", "dash": "3,3", "label": "$y = x^2 + 1$" },
{ "fn": "x^2", "color": "black1", "label": "$y = x^2$" },
{ "fn": "x^2-1", "color": "black1", "dash": "3,3", "label": "$y = x^2 - 1$" }
]
}
Le intersezioni con l’asse x
Le intersezioni con l’asse $x$ della parabola, se esistono, hanno come coordinate $x$ le soluzioni di $ax^2 + bx + c = 0$. Quindi,
- non esistono punti di intersezione se $\Delta = b^2 - 4ac < 0$;
- esiste un punto di intersezione/tangenza se $\Delta = 0$;
- esistono due punti di intersezione se $\Delta > 0$.
Nel caso più generale, l’equazione si può risolvere con la formula quadratica (se altre tecniche più immediate non sono possibili): $x = -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt \Delta}{2a}$. L’equazione si può tuttavia risolvere per altre vie (spesso preferibili), tra cui completamento del quadrato e fattorizzazione.
{
"xlim": [-5.9,11.9],
"ylim": [-24.9,9.9],
"padding": 5,
"align": "center",
"legend": true,
"labelStyle": "italic",
"data": [
{ "fn": "x^2-5x-14", "color": "red1", "label": "$y = x^2 - 5x - 14$" },
{ "points": [[-2,0,"(-2,0)"], [7,0,"(7,0)"]], "radius": 4, "fillColor": "red1", "strokeColor": "#fff", "strokeWidth": 2 }
]
}
La parabola di equazione $y = x^2 - 5x - 14$ interseca l’asse $x$ nei punti $(-2, 0)$ e $(7, 0)$. Infatti, $-2$ e $7$ sono le soluzioni dell’equazione $y = x^2 - 5x- 14$.
L’asse di simmetria
Nel grafico sono rappresentati la parabola di equazione $y = ax^2 + bx + c$ e, tratteggiato, il suo asse di simmetria. Fai variare i valori di $a$, $b$ e $c$ e nota come l’asse si sposta solo al variare di $a$ e $b$, ma non al variare di $c$.
{
"padding": 5,
"align": "center",
"marginBottom": "20px",
"params": {
"a": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 },
"b": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 },
"c": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 }
},
"data": [
{ "fn": "ax^2+bx+c" },
{ "x": "-b/(2*a)", "color": "black1", "dash": "3,3" }
]
}
L’asse di simmetria della parabola ha equazione $x = -\dfrac{b}{2a}$, perché, se la parabola interseca l’asse $x$, sta tra i due punti di intersezione — che si trovano rispettivamente prima e dopo l’asse, alla distanza di $\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$.
{
"xlim": [-5.9,11.9],
"ylim": [-24.9,9.9],
"padding": 5,
"align": "center",
"legend": true,
"labelStyle": "italic",
"data": [
{ "fn": "x^2-5x-14", "color": "red1", "label": "$y = x^2 - 5x - 14$" },
{ "points": [[-2,0,"(-2,0)"], [7,0,"(7,0)"]], "radius": 4, "fillColor": "red1", "strokeColor": "#fff", "strokeWidth": 2 },
{ "x": 2.5, "color": "black1", "dash": "3,3", "label": "x = 5/2" }
]
}
La parabola di equazione $y = x^2 - 5x - 14$ ha per asse di simmetria la retta verticale di equazione $x = 5/2$, perché $-b/(2a) = 5/2$ e perché la media delle coordinate $x$ dei punti di intersezione della parabola con l’asse $x$ vale $(-2 + 7) / 2 = 5/2 = 2{,}5$.
Il vertice
Il vertice è il punto più alto, se la parabola è triste, o più basso, se la parabola è felice, della parabola. È l’intersezione tra la parabola e l’asse.
Per trovare le coordinate del vertice, basta sostituire nella parabola la coordinata $x$ dell’asse di simmetria e ricavare così la coordinata $y$.
{
"padding": 5,
"align": "center",
"marginBottom": "20px",
"params": {
"a": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 },
"b": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 },
"c": { "val": 1, "min": -5, "max": 5, "step": 0.1 }
},
"data": [
{ "fn": "ax^2+bx+c" },
{ "x": "-b/(2*a)", "color": "black1", "dash": "3,3", "label": "x = -b/2a" },
{ "points": [["-b/(2*a)","(4*a*c-b^2)/(4*a)","V"]], "radius": 4, "fillColor": "black1", "strokeColor": "#fff", "strokeWidth": 2 }
]
}
Se la parabola descrive l’andamento di una certa grandezza (che può rappresentare un fenomeno matematico, fisico, economico, sociale, ecc.), il vertice indica il valore massimo o minimo di tale grandezza. I problemi in cui occorre trovare massimi e minimi di una grandezza variabile si chiamano problemi di ottimizzazione.