Serie e sommatorie

Le sommatorie

La lettera $\Sigma$ indica in matematica una somma. Ad esempio:

$$ 1^3 + 2^3 + \dots + 9^3 = \sum_{n = 1}^9 n^3 = 2025 $$

Si legge sommatoria per $n$ che va da $1$ a $9$ di $n^3$, dove $n$ è detto indice della sommatoria.

Si può paragonare a un loop:

                    let sum = 0;
for (let n = 1; n <= 9; n++) {
  sum += n ** 3;
}

                  

Sommatoria delle potenze $n$-esime di $2$ per $n$ da $0$ a $k$:

$$ \sum_{n = 0}^{k} 2^n = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{k} $$

Per alcune sommatorie esiste una forma chiusa:

$$ \sum_{n = 0}^k 2^n = 2^{k + 1} - 1 \quad \left( \text{ad es. } \sum_{n=0}^{10} 2^n = 2^{11} - 1 = 2047 \right) $$

Una somma con infiniti termini si chiama serie.

$$ \sum_{n=0}^{+\infty} x_n = x_0 + x_1 + x_2 + \dots $$

La somma fino al $k$-esimo elemento è detta somma parziale $S_k$:

$$ S_k = \sum_{n = 0}^k x_n = x_0 + \dots + x_k $$

La somma della serie coincide con il limite della somma parziale per $k \to +\infty$:

$$ \sum_{n = 0}^{+\infty} x_n = \lim_{k \to +\infty} S_k $$

Se il limite è un numero finito, la serie converge.

La serie geometrica di ragione $1/2$ converge a $1$:

$$ \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1 $$

La somma dei numeri interi non negativi è una serie divergente:

$$ \sum_{n = 0}^{+\infty} n = 0 + 1 + 2 + \dots \to +\infty $$

Anche la seguente serie non è convergente (indeterminata):

$$ \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots $$

La somma parziale $S_k$ vale $1$ se $k$ pari, $0$ se dispari.