Numeri complessi

Obiettivi

Definire l’unità immaginaria e i numeri complessi.
Rappresentare un numero complesso con la notazione cartesiana, con la notazione polare e con la notazione esponenziale.
Definire le operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri complessi.

L’unità immaginaria

$\sqrt{-1}$ è detta unità immaginaria e si indica con $i$.

Pertanto: $i^2 = \sqrt{-1}^2 = -1$

I numeri complessi

Un numero complesso è un numero della forma

$$ z = a + ib \, , $$

dove:

$a$ è un numero reale, detto parte reale di $z$; si indica con $\mathfrak{Re}(z)$;
$b$ è un numero reale, detto parte immaginaria di $z$; si indica con $\mathfrak{Im}(z)$.

L’insieme dei numeri complessi si indica con $\mathbb{C}$.

Esistono tre modi per rappresentare un numero complesso.

Il primo assomiglia alla rappresentazione dei punti sul piano cartesiano. La rappresentazione cartesiana consente di definire agevolmente la somma di numeri complessi.
Il secondo modo, la rappresentazione polare, si basa sull’identificazione del numero complesso a partire da un angolo e dalla sua distanza da $0$. Fa da ponte tra la rappresentazione cartesiana e quella successiva…
Esiste un terzo metodo — il più elegante — per rappresentare i numeri complessi: la rappresentazione esponenziale Questo metodo di rappresentazione consente di definire semplicemente la moltiplicazione tra numeri complessi.

Rappresentazione cartesiana

Il numero complesso $z = a + ib$ si può rappresentare su un piano come un punto (o vettore) di coordinate $(a, b)$.

{
  "align": "center",
  "aspectRatio": "3:2",
  "xlim": [-5.9, 5.9],
  "ylim": [-3.9, 3.9],
  "gridOpacity": 0.5,
  "secondaryGridOpacity": 0.2,
  "data": [
    {
      "points": [[2, 1, "z = P.x + iP.y"]],
      "freeCoordinates": true,
      "name": "P",
      "fillColor": "sumemr1",
      "radius": 3
    },
    { "vector": [[0, 0], ["P.x", "P.y"]], "color": "summer1", "width": 2 },
    { "vector": [[0, 0], ["P.x", 0]], "color": "summer3", "width": 2, "label": "Re(z) = P.x" },
    { "vector": [[0, 0], [0, "P.y"]], "color": "summer7", "width": 2, "label": "Im(z) = P.y" },
    { "vector": [[0, "P.y"], ["P.x", "P.y"]], "color": "black1", "width": 1, "dash": [4,4], "arrow": false },
    { "vector": [["P.x", 0], ["P.x", "P.y"]], "color": "black1", "width": 1, "dash": [4,4], "arrow": false }
  ]
}

Con il teorema di Pitagora è possibile calcolare la distanza del punto $(a, b)$ dall’origine. Tale distanza è detta modulo del numero complesso $z$ e si indica con $\lvert z \lvert$:

$$ \lvert z \lvert = \sqrt{a^2 + b^2} \, . $$

Addizione

La somma di numeri complessi si comporta come la somma di vettori: si sommano per componenti.

La somma di $z_1 = a_1 + ib_1$ e $z_2 = a_2 + ib_2$ è:

$$ z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2) $$

Geometricamente, corrisponde alla somma vettoriale.

{
  "align": "center",
  "aspectRatio": "3:2",
  "xlim": [-5.9, 5.9],
  "ylim": [-3.9, 3.9],
  "gridOpacity": 0.5,
  "secondaryGridOpacity": 0.2,
  "data": [
    {
      "points": [[2, 1, "z = P.x + iP.y"]],
      "freeCoordinates": true,
      "name": "P",
      "fillColor": "sumemr1",
      "radius": 3
    },
    {
      "points": [[-3, 0.5, "w = Q.x + iQ.y"]],
      "freeCoordinates": true,
      "name": "Q",
      "fillColor": "sumemr2",
      "radius": 3
    },
    {
      "points": [["P.x + Q.x", "P.y + Q.y", "z + w = R.x + iR.y"]],
      "radius": 3,
      "name": "R",
      "fillColor": "summer6"
    },
    { "vector": [[0, 0], ["P.x", "P.y"]], "color": "summer1", "width": 2 },
    { "vector": [[0, 0], ["P.x", 0]], "color": "summer3", "width": 2 },
    { "vector": [[0, 0], [0, "P.y"]], "color": "summer7", "width": 2 },
    { "vector": [[0, "P.y"], ["P.x", "P.y"]], "color": "black1", "width": 1, "dash": [4,4], "arrow": false },
    { "vector": [["P.x", 0], ["P.x", "P.y"]], "color": "black1", "width": 1, "dash": [4,4], "arrow": false },
    { "vector": [[0,0], ["Q.x", "Q.y"]], "color": "summer2", "width": 2 },
    { "vector": [["P.x", "P.y"], ["P.x + Q.x", "P.y"]], "color": "summer4", "width": 2, "opacity": 0.7 },
    { "vector": [["P.x", "P.y"], ["P.x", "P.y + Q.y"]], "color": "summer8", "width": 2, "opacity": 0.7 },
    { "vector": [["P.x + Q.x", "P.y"], ["P.x + Q.x", "P.y + Q.y"]], "color": "black1", "width": 1, "dash": [4,4], "arrow": false },
    { "vector": [["P.x", "P.y + Q.y"], ["P.x + Q.x", "P.y + Q.y"]], "color": "black1", "width": 1, "dash": [4,4], "arrow": false },
    { "vector": [[0, 0], ["P.x + Q.x", "P.y + Q.y"]], "color": "summer6", "width": 2 }
  ]
}

Rappresentazione polare

Possiamo definire un numero complesso in funzione del suo modulo $r$ e del suo argomento $\theta$ (fase):

$$ z = \underbrace{r \cos \theta}_{a} + i \cdot \underbrace{r \sin \theta}_{b} = r(\cos \theta + i \sin \theta) $$

Possiamo quindi indicarlo come: $z = \underbrace{(r \cos\theta, r \sin\theta)}_\text{forma cartesiana} = \underbrace{(r; \theta)}_\text{forma polare}$

{
  "align": "center",
  "xlim": [-4.9, 4.9],
  "ylim": [-4.9, 4.9],
  "polar": true,
  "polarUnits": "rad",
  "data": [
    {
      "points": [[2, 1, "z = P.x + iP.y"]],
      "freeCoordinates": true,
      "name": "P",
      "fillColor": "sumemr1",
      "radius": 3
    },
    { "vector": [[0, 0], ["P.x", "P.y"]], "color": "summer1", "width": 2, "label": "r = P.r, θ = P.theta" }
  ]
}

Rappresentazione esponenziale

La funzione esponenziale $e^x$ si può sviluppare in serie di Taylor:

$$ e^x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots $$

Sostituendo $ix$ troviamo:

$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots $$

Interpretazione geometrica di $e^{ix}$

La somma della serie ruota a distanza 1 dall’origine. Troviamo la relazione:

$$ (1; x) = e^{ix} $$

E se lo moltiplichiamo per un modulo $r$?

$$ r e^{i\theta} = \underbrace{r \cos \theta}_{a} + i \cdot \underbrace{r \sin \theta}_{b} $$

Moltiplicazione

Se $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ e $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$:

$$ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \cdot e^{i(\theta_1 + \theta_2)} $$

La moltiplicazione corrisponde a una dilatazione e a una rotazione geometrica.

Riferimenti a questa pagina

In "giro" con Fourier