Funzioni complesse
Obiettivi
- Ricordare la definizione generale di funzione.
- Definire le funzioni a valori complessi.
Il concetto di funzione
Una funzione $f$ associa a un elemento $t$ di un dominio $X$, uno e un solo elemento $f(t)$ del codominio $Y$:
Il grafico è l’insieme delle coppie ordinate $(t, f(t))$.
Le funzioni a valori complessi
Una funzione a variabile reale e valori complessi è del tipo:
Associa a input reali $t$ dei valori complessi $f(t)$ in output.
Il grafico richiederebbe tre dimensioni (una per il dominio reale e due per il codominio complesso), ma spesso ci concentriamo sulla sua proiezione sul piano complesso al variare di $t$.
Polinomi trigonometrici
Obiettivi
- Definire i monomi trigonometrici e interpretarli geometricamente.
- Definire i polinomi trigonometrici e interpretarli geometricamente.
- Visualizzare il grafico di un polinomio trigonometrico.
I monomi trigonometrici
Possiamo far variare nel tempo la posizione di un numero complesso $z$ definendolo come funzione:
Il numero complesso ruoterà a distanza 1 da 0 al variare del tempo $t$.
Se vogliamo variare la frequenza di rotazione (giri nel tempo), moltiplichiamo $t$ per $n$:
Moltiplicandolo poi per un numero complesso costante $c = r e^{i\phi}$ otteniamo un monomio trigonometrico:
Quiz
Come posso rappresentare un punto che ruota con frequenza 2 alla distanza 3 dall’origine in funzione del tempo $t$?
I polinomi trigonometrici
La somma di più monomi trigonometrici è un polinomio trigonometrico:
Associa ad ogni istante $t$ un punto sul piano complesso $P(t)$.
Ad esempio, il polinomio $e^{-it} + e^{i \frac{\pi}{2}} + 2 \cdot e^{i(6t)}$ è la somma di tre monomi in rotazione l’uno attorno all’altro.
Serie e trasformata di Fourier
Obiettivi
- Definire la serie di Fourier.
- Definire i coefficienti della serie di Fourier tramite la trasformata di Fourier.
La serie di Fourier
Quali figure è possibile “disegnare” attraverso un polinomio trigonometrico?
Teorema
Per qualsiasi funzione a valori complessi $f(t)$ periodica di periodo $2\pi$ e a quadrato sommabile su $[0, 2\pi]$ esistono dei coefficienti $c_n$ tali per cui:
Analizziamo pezzo per pezzo
- La funzione $t \mapsto f(t)$ associa ad ogni istante $t \in \mathbb{R}$ un numero complesso $f(t) \in \mathbb{C}$.
- La funzione è periodica di periodo $2\pi$, dunque il suo grafico sul piano complesso è una curva chiusa ($f(t) = f(t+2\pi)$).
-
La funzione è a quadrato sommabile: $\int_0^{2\pi} f(t) ^2 dt < +\infty$.
In poche parole, tutte le funzioni il cui grafico sul piano complesso è una curva chiusa che si potrebbe realizzare a mano libera.
Come sono calcolati i coefficienti
I coefficienti $c_n$ sono calcolati attraverso la trasformata di Fourier:
Il coefficiente corrisponde al “centro di massa” della funzione $f(t)$ avvolta intorno a $0$ alla frequenza $-n$.
Trasformata Discreta di Fourier (DFT)
Nella sua versione discreta, per una sequenza di $N$ numeri complessi ${f_k}$: $c_n = \underbrace{\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} f_k \cdot e^{-2\pi in \frac{k}{N}}}_{\text{DFT}}$
Esempio di implementazione in JavaScript:
function dft(f) {
const F = [];
const N = f.length;
for (let n = 0; n < N; n++) {
let sum = new ComplexNumber(0, 0);
for (let k = 0; k < N; k++) {
const theta = (- 2 * Math.PI * (k / N) * n);
const c = new ComplexNumber(Math.cos(theta), Math.sin(theta));
sum.add(c.multiply(f[k]));
}
sum = sum.divide(N);
F.push({
re: sum.real(), im: sum.imag(), freq: n,
amp: sum.abs(), phase: sum.phase()
});
}
return F;
}