Esercizio 1
Per ciascuna delle seguenti funzioni, determina il dominio naturale, calcola i limiti della funzione agli estremi del dominio di definizione e rappresenta il grafico cartesiano approssimativo della funzione (concentrandosi sulla rappresentazione del dominio e dei limiti).
- $f(x) = \dfrac{3x^3 + 9}{x^2 - 9}$
- $g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$
Esercizio 2
Completa a partire dal grafico della funzione $f$.
- $\lim_{x \, \to \, \dotsc} f(x) = +\infty$
- $\lim_{x \, \to \, 2^-} f(x) = \; \dotsc$
- $\lim_{x \, \to \, \dotsc} f(x) = 1$
- $\lim_{x \, \to \, -\infty} f(x) = \; \dotsc$
Esercizio 3
Secondo lo psicologo Herman Ebbinghaus, dopo aver acquisito nuove informazioni, la percentuale che permane nella memoria decresce nel tempo in modo esponenziale. Per una certa persona, la possibilità di recuperare informazioni acquisite dalla memoria diventa un terzo dopo ogni 6 mesi. Detta $R(t)$ la possibilità di recuperare le informazioni in funzione del tempo $t$ e scelto $t = 0$ come l’istante di tempo in cui le informazioni sono state acquisite, quali tra le seguenti affermazioni sono corrette?
- (a) $\lim_{x \, \to \, 0^+} f(x) = 100\%$
- (b) $\lim_{x \, \to \, +\infty} f(x) = 0\%$
- (c) $\lim_{x \, \to \, 0^+} f(x) = 0\%$
- (d) $\lim_{x \, \to \, +\infty} = -\infty$
Esercizio 4
Per quale o quali delle seguenti funzioni il limite per $x \to +\infty$ non esiste? Più di una risposta può essere corretta, motivale.
- (a) $f(x) = \dfrac{\sin x}{e^x}$
- (b) $f(x) = e^x \cdot \sin x$
- (c) $f(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$
- (d) $f(x) = e^{-x} \cdot \sin x$
Esercizi 5
Quale tra le seguenti affermazioni relative alla funzione $f$, il cui dynagraph è rappresentato in figura, è corretta?
- (a) $\lim_{x \, \to \, +\infty} f(x) = 0$
- (b) $\lim_{x \, \to \, 2^-} f(x) = 0$
- (c) $\lim_{x \, \to \, -\infty} f(x) = 2$
- (d) $\lim_{x \, \to \, 2^+} f(x) = 2.5$
Esercizio 6
Scrivi la definizione algebrica di una funzione che presenta due asintoti verticali in $x = 1$ e $x = -1$.