Quesiti, quiz e problemi sui limiti (calcolo dei limiti, limiti come strumento per determinare il comportamento delle funzioni e delle successioni agli estremi del dominio per operare con infiniti ed infinitesimi).
Cosa significano E, F, ecc.? Consulta la [[scala di difficoltà degli esercizi]].
Quesiti
- EE/F Calcola i seguenti limiti, che non presentano forme di indecisione.
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, e} \, (3 - \log x)$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, -\infty} \, \Big( x + \dfrac{5}{x} \Big)$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, 0} \, \Big( \dfrac{1}{x^4} + \dfrac{1}{x^2} \Big)$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, -\infty} \, \Big( \dfrac{1}{x} + e^x \Big)$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, -\infty} \, (-x^2 + x)$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, -1} \, (x^4 - x^3 -4)$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, +\infty} \, (2- x) \cdot \log x$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, 1^+} \, \dfrac{1}{x - 1}$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, 3^-} \, \dfrac{1}{\log(3 - x)}$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, 3^-} \, \dfrac{x^2 - 1}{x - 3}$
- EE/F Calcola i seguenti limiti, che presentano forme di indecisioni.
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, 2} \, \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, +\infty} \, \dfrac{2x^2}{x^3}$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, +\infty} \, (x^4 - x^2 - 9)$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, -\infty} \, (-3x^3 + 2x^2 - x)$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, +\infty} \, \dfrac{x^6 - 3x^4}{2x^2 - 2x + 1}$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, +\infty} \, \dfrac{2x - 6x^3 + x^2}{x^2 - 3x^3}$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, +\infty} \, \dfrac{x^2 - 2x + 3x^3}{2x^4 - x^2}$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, 3} \, \dfrac{x - 3}{x^2 - 9}$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, +\infty} \, \dfrac{e^x - 2x^6}{x^3 + \log x}$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, +\infty} \, \Big( \dfrac{1 + x^2}{e^{2x}} - 3 \Big)$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, -\infty} \, \dfrac{e^x + x^2}{x^4}$
- $\displaystyle\lim_{x \, \to \, +\infty} \, (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 2})$
- EE/F Per ciascuna delle seguenti funzioni, determinare il dominio naturale, calcolare i limiti della funzione agli estremi del dominio di definizione e rappresentare il grafico cartesiano approssimativo della funzione (concentrandosi sulla rappresentazione del dominio e dei limiti). Verificare la correttezza dei risultati ottenuti con Desmos o GeoGebra.
- $f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$
- $f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 2}$
- $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$
- $f(x)= \dfrac{1}{x^2 - 9}$
- $f(x) = \dfrac{x^2 + x}{x^3 + x}$
- $f(x) = \dfrac{5x + 5}{5x^2 - 5}$
- $f(x) = \dfrac{x^4 + 8}{x}$
- $f(x) = e^x - x$
- $f(x) = \dfrac{x}{e^x}$
- $f(x) = \ln(x^2)$
- $f(x) = \log_2 (x^2 - 4)$
- $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$
- $f(x) = \dfrac{1}{x} \cdot \sin x$
- $f(x) = \sin \dfrac{1}{x}$
- EE Per ciascuno dei seguenti grafici di funzioni, determina il limite della funzione agli estremi del dominio.
- D+ Nel grafico è rappresentata la funzione $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$. Puoi calcolare il limite della funzione $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ per $x \, \to \, +\infty$? Perché? Rappresenta tramite Desmos o GeoGebra il grafico di $g$ e prova a spiegare la sua peculiare forma.
- PD Scrivi una funzione che presenti un asintoto verticale in $x = 3$ e un asintoto orizzontale in $y = 5$.
- D+ Discuti la forma di $f(x) = log_2(x^2 + bx + c)$ al variare del discriminante di $\Delta = x^2 + bx + c$. Costruisci con Desmos una visualizzazione dinamica di $f(x)$, controllando con degli slider i valori di $b$ e $c$.
Quiz
- PD In figura è rappresentato il grafico della funzione $f$. Considera la funzione $g(x) = \log f(x)$. Quale delle seguenti affermazioni è corretta.
- (a) $\lim_{x \, \to \, 2^+} g(x) = -\infty$
- (b) $\lim_{x \, \to \, +\infty} g(x) = 0$
- (c) $\lim_{x \, \to \, 0^-} g(x) = 0$
- (d) $\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$
- (e) Nessuna opzione è corretta.
- F Osserva il dynagraph di una funzione $f$ rappresentato in figura. Quale tra le seguenti affermazioni è corretta?
- (a) $\lim_{x \, \to \, +\infty} f(x) = +\infty$
- (b) $\lim_{x \, \to \, +\infty} f(x) = 0$
- (c) $\lim_{x \, \to \, 0^+} f(x) = -\infty$
- (d) $\lim_{x \, \to \, 0^+} f(x) = +\infty$
- (e) Nessuna opzione è corretta.
- F+ Una tartaruga percorre 1 metro in 1 minuto. Dopo ogni minuto la velocità della tartaruga dimezza: percorre 0.5 m nel minuto successivo al primo, 0.25 m nel minuto ancora successivo, ecc.. Sia $v(t)$ la velocità della tartaruga al tempo $t$ (dove $t = 0$ è l’instante di tempo iniziale). Quale tra i seguenti completamenti sono corretti? Più di un completamento può essere corretto. Dopo un’infinità di tempo…
- (a) la tartaruga ha percorso meno di 2 metri.
- (b) la distanza percorsa dalla tartaruga tende a $+\infty$.
- (c) la velocità della tartaruga tende a zero.
- (d) la velocità della tartaruga tende a $-\infty$.
- PD- Per quali delle seguenti funzioni non è definito il limite per $x \to +\infty$ ?
- (a) $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$
- (b) $f(x) = \log(x^2)$
- (c) $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$
- (d) $f(x) = x \cdot \sin x$
- (e) Il limite esiste per tutte le funzioni.
- PD Un sistema fisico è composto da due cariche elettriche elementari identiche $q_1$ e $q_2$, inizialmente ferme e poste a una certa distanza. Si denotata con $U(t)$ l’energia potenziale del sistema, che vale inizialmente $2 \times 10^{-19} \, \text{J}$. Le due cariche sono libere di muoversi. Si denota con $K(t)$ l’energia cinetica di ciascuna delle due cariche, in funzione del tempo. Quale tra le seguenti affermazioni non è corretta?
- (a) $U(t) \to 0$ per $t \to +\infty$
- (b) $K(t) \to +\infty$ per $t \to +\infty$
- (c) $K(t) \to 1 \times 10^{-19} \, \text{J}$ per $t \to +\infty$
- (d) $K(0) = 0$ e $U(0) = 2 \times 10^{-19} \, \text{J}$
- (e) Le affermazioni sono tutte corrette.
Problemi
Decrescita infelice EE Una popolazione di insetti dimezza ogni anno, a causa delle condizioni climatiche non favorevoli. L’attuale popolazione ammonta a 2 milioni di unità. La funzione $p(t)$ descrive la popolazione di insetti in funzione del tempo $t$ ($t = 0$ rappresenta l’istante di tempo iniziale).
- Quanto vale $p(0)$ ?
- Determina il limite di $p(t)$ per $t \to 0$ ?
- Esiste un istante di tempo per cui $p(t)$ vale zero?
Questione di pHeeling EE/F La concentrazione degli ioni idrogeno in una soluzione è indicata con $[H^+]$ e il pH è definito dalla funzione:
\[pH=−log_{10}[H+]\]
Durante una reazione chimica la concentrazione $[H^+]$ tende a diminuire, avvicinandosi a zero senza mai annullarsi. Studia il seguente limite:
\[\lim_{[H^+] \to 0^+} pH\]
e interpreta il risultato dal punto di vista chimico.
Il bosco incantato PD- Un sentiero del bosco incantato cambia ogni giorno. Il primo giorno è un segmento lungo 100 m, il secondo giorno si divide in tre parti uguali il segmento e si sostituisce la parte centrale con due segmenti uguali (come due lati di un triangolo equilatero). Il giorno successivo si ripete questa procedura su tutti i segmenti, e così via…
Un topolino percorre tutti i giorni il sentiero per andare a scuola.
- Se oggi è il primo giorno, e quindi percorre 100 m, quanta strada percorrerà il quarto giorno?
- Quanta strada percorrerebbe dopo un’infinità di tempo?
Il triangolo no… non l’avevo considerato PD- Nel giardino della sede del Dipartimento di Matematica e Fisica dell’Università di Varsavia è presente un’aiuola a forma di triangolo equilatero. Un anno, il matematico Wacław divide l’aiuola in 4 triangoli equilateri congruenti e pota completamente il triangolo centrale. Wacław ripete la procedura sui triangoli rimanenti ogni anno.
- Qual è l’area dell’aiuola dopo 2 anni? Nell’anno zero l’aiuola è integra.
- Qual è l’area dopo 3 e dopo 4 anni?
- Quale sarebbe l’area dell’aiuola dopo un’infinità di tempo?
- Come si chiama la figura geometrica ottenuta ripetendo l’operazione di potatura infinite volte? Cerca online utilizzando gli indizi presenti nel testo.