Esercizi su relazioni ed equazioni lineari

Esercizi, quesiti, quiz e problemi sulle relazioni lineari e sulle equazioni lineari (o riconducibili ad equazioni lineari).

Cosa significano E, F, ecc.? Consulta la [[scala di difficoltà degli esercizi]].

Esercizi

  1. E Risolvi le seguenti equazioni.
    1. $4x - 2 = 5$ Soluzione: $x = 7/4$
    2. $x + 7 = 7$ Soluzione: $x = 0$
    3. $3 = \frac{x}{3} - 2$ Soluzione: $x = 15$
    4. $5 - 3x = 14$ Soluzione: $x = -3$
    5. $\frac{5}{2}b + 1 = 4$ Soluzione: $b = 6/5$
    6. $\frac{1}{3} - x = \frac{5}{3}$ Soluzione: $x = -4/3$
    7. $\frac{5}{4} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2}x$ Soluzione: $x = 11/18$
    8. $4 a + 2 = 2$ Soluzione: $a = 0$
    9. $0{,}2x + 0{,}5 = 3$ Soluzione: $x = 12,5$
    10. $4y - 10 = 6$ Soluzione: $y = 4$
    11. $5 = 3x + 11$ Soluzione: $x = -2$
    12. $-4 + 2z = 12$ Soluzione: $z = 8$
    13. $x/4 + 4 = 10$ Soluzione: $x = 24$
    14. $8 - 5x = 3$ Soluzione: $x = 1$
    15. $\frac{y}{4} = 8$ Soluzione: $y = 32$
    16. $-12 = 4x + 4$ Soluzione: $x = -4$
    17. $\frac{1}{5}z - 3 = 7$ Soluzione: $z = 50$
    18. $6x + 2 = -16$ Soluzione: $x = -3$
    19. $14 = 2y - 4$ Soluzione: $y = 9$
    20. $-x + 7 = 15$ Soluzione: $x = -8$
    21. $-5 = -x + 8$ Soluzione: $x = 13$
    22. $10^2t + 10 = 10^3$ Soluzione: $t = 9,9$
  2. E Risolvi le seguenti equazioni, in cui l’incognita compare in ambo i lati dell’equazione.
    1. $x - 3 = \frac{1}{4}x - \frac{3}{2}$ Soluzione: $x = 2$
    2. $x + 5 = 7 - x$ Soluzione: $x = 1$
    3. $-7 = 2 + 4x$ Soluzione: $x = -9/4$
    4. $\frac{y}{3} + 5 = 5 - y$ Soluzione: $y = 0$
    5. $4x - 3 = 2x + 5$ Soluzione: $x = 4$
    6. $\frac{1}{5}x + 4 = -3x + \frac{1}{3}$ Soluzione: $x = -55/48$
    7. $4 - 3y = 2y + 9$ Soluzione: $y = -1$
    8. $-15 = 3x - 4$ Soluzione: $x = -11/3$
    9. $\frac{3}{4}y - 2 = y + \frac{5}{2}$ Soluzione: $y = -18$
    10. $6x + 9 = -x + 21$ Soluzione: $x = 12/7$
    11. $\frac{x}{4} - 1 = 5 - \frac{3x}{4}$ Soluzione: $x = 6$
    12. $8 - 5x = 4x - 15$ Soluzione: $x = 23/9$
    13. $-5y + \frac{1}{3} = 6 - 3y$ Soluzione: $y = -17/6$
    14. $14 = -3x + 8$ Soluzione: $x = -2$
  3. EE Risolvi le seguenti equazioni: alcune possono non avere soluzione oppure averne infinite.
    1. $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}x - 1$ Soluzione: $x = 7/3$
    2. $0,5(2x - 4) = x + 3$ Soluzione: impossibile
    3. $0,25x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}(x - 2)$ Soluzione: indeterminata
    4. $2x(x - 3) = 2x^2 + 5x - 11$ Soluzione: $x = 1$
    5. $-3x(2 - x) = 3x^2 - 6x + 5$ Soluzione: impossibile
    6. $(x + 1)(x + 2) = x(x + 5) - 4$ Soluzione: $x = 3$
    7. $(2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 5x - 3$ Soluzione: indeterminata
    8. $\frac{2}{5}x(5x - 10) = 2x^2 - 4x$ Soluzione: indeterminata
    9. $1,5(x - 2)(x + 1) = 1,5x^2 - 1,5x - 3$ Soluzione: indeterminata
    10. $(x + 3)^2 = x^2 + 2x + 17$ Soluzione: $x = 2$
    11. $(x - 1)^2 - x^2 = -2x + 5$ Soluzione: impossibile
    12. $(x - 4)(x + 4) = x^2 - 2x$ Soluzione: $x = 8$
    13. $(3x - 2)(3x + 2) = 9x^2 - 4$ Soluzione: indeterminata
    14. $(x + 2)^2 - (x - 3)(x + 3) = 5x + 2$ Soluzione: $x = 11$
    15. $(2x + 1)^2 - (2x + 3)(2x - 3) = 4x$ Soluzione: impossibile
    16. $(0,5x + 2)^2 = 0,25x^2 + x + 4 Soluzione: x = 0$
    17. $(x - 0,1)^2 = x^2 - 0,2x + 0,01$ Soluzione: indeterminata
    18. $\left(\frac{1}{3}x - 3\right)^2 = \frac{1}{9}x^2 - x + 1$ Soluzione: $x = 8$
    19. $\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right) = x^2 + 0,75$ Soluzione: impossibile
    20. $\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{4}{3}x = (x + 1)(x - 1) + 2$ Soluzione: impossibile
  4. EE/F Risolvi le seguenti equazioni tramite fattorizzazione.
    1. $x^2 - x - 12 = 0$ Soluzione: $x=4; x=-3$
    2. $x^2 + 6x + 9 = 0$ Soluzione: $x=-3$
    3. $x^2 - 3x = 10$ Soluzione: $x=5; x=-2$
    4. $x^2 + 5x = 0$ Soluzione: $x=0; x=-5$
    5. $x^3 + 3x^2 = 0$ Soluzione: $x=0; x=-3$
    6. $2x^2 - 8x = 0$ Soluzione: $x=0; x=4$
    7. $x^2 - 5x + 6 = 0$ Soluzione: $x=2; x=3$
    8. $3x^3 + 12x = 12x^2$ Soluzione: $x=0; x=2$
    9. $4x^5 - x^3 = 0$ Soluzione: $x=0; x=\pm 1/2$
  5. EE/F Ricava le incognite indicate dalle seguenti equazioni e leggi fisiche.
    1. $v = v_0 + at$, legge oraria della velocità del moto rettilineo uniformemente accelerato, ricava $a$. Soluzione: $a = (v - v_0)/t$
    2. $Q = mc(T_f - T_i)$, legge della calorimetria, ricava $T_i$. Soluzione: $T_i = T_f - Q/(mc)$
    3. $P = P_0 + \rho gh$, legge di Stevin, ricava $h$. Soluzione: $h = (P - P_0)/(\rho g)$
    4. $F = G\frac{m_1 m_2}{d^2}$, legge di gravitazione universale di Newton, ricava $m_1$. Soluzione: $m_1 = (F d^2)/(G m_2)$
    5. $V = E - r_i I$, legge del generatore reale di tensione, ricava $r_i$. Soluzione: $r_i = (E - V)/I$
    6. $x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$, legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato, ricava $v_0$. Soluzione: $v_0 = (x - x_0)/t - at/2$
    7. $pV = nRT$, legge dei gas perfetti, ricava $T$. Soluzione: $T = (pV)/(nR)$
    8. $L = L_0(1 + \alpha \Delta t)$, legge della dilatazione termica, ricava $\alpha$ Soluzione: $\alpha = (L - L_0)/(L_0 \Delta t)$
    9. $F \Delta t = m v_f - m v_i$, teorema dell’impulso, ricava $v_i$ Soluzione: $v_i = v_f - (F \Delta t)/m$
    10. $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)V$, conservazione della quantità di moto in un urto anelastico, ricava $m_1$. Soluzione: $m_1 = m_2(V - v_2)/(v_1 - V)$

Quesiti

  1. T Spiega, a parole tue, perché, quando si “sposta” un numero o un’espressione algebrica dall’altro lato di un’equazione rispetto al lato dove si trova inizialmente, cambia segno. Ad esempio $x + 2 = 5$ diventa $x = 5 - 2$.
  2. EE Spiega, a parole tue, come si può risolvere l’equazione $x^2 - x - 6 = 0$.
  3. Un problema al contrario F Inventa un problema che possa essere risolto mediante la seguente equazione $40x + 20 = 150$ oppure tramite un’equazione equivalente. Spiega come si risolve il problema.
  4. F- Spiega, a parole tue, la differenza tra le equazioni $0x = 0$, $0x = 5$ e $5x = 0$.

Quiz

  1. F+ Quale tra le seguenti è una soluzione dell’equazione $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$?
    • (a) $x = 0$
    • (b) $x = 1$
    • (c) $x = 2$
    • (d) $x = 3$ Soluzione: (b)
  2. EE Quale delle seguenti equazioni ha infinite soluzioni (è indeterminata)?
    • (a) $2x - 4 = 2(x - 2)$
    • (b) $3x + 1 = 3x - 1$
    • (c) $x + x = x$
    • (d) $5x = 0$ Soluzione: (a)
  3. F- Il grafico sottostante rappresenta la temperatura $T$ (in °C) dell’acqua in una pentola sul fuoco, in funzione del tempo $t$ (in minuti). Qual è l’equazione corretta che descrive la relazione tra la temperatura $T$ e il tempo $t$?
    • (a) $T = 8t$
    • (b) $T = 20t + 8$
    • (c) $T = 20 + 8t$
    • (d) $T = 100 - 8t$ Soluzione: (c) 
      {
  "aspectRatio": "3:2",
  "xlim": [0, 11.9],
  "ylim": [-9, 119],
  "axisLabels": ["t","T"],
  "data": [
 { "fn": "20+8x" }
  ]
}
  4. F Osservando il grafico del quiz precedente, a quale temperatura si trovava l’acqua prima di accendere il fuoco ($t=0$)?
    • (a) 0°C
    • (b) 8°C
    • (c) 20°C
    • (d) 100°C Soluzione: (c)
  5. EE Il grafico seguente mostra il volume d’acqua $V$ (in litri) rimasto in una vasca che si sta svuotando, in funzione del tempo $t$ (in minuti). Quanti minuti impiega la vasca a svuotarsi completamente?
    • (a) 10 minuti
    • (b) 12 minuti
    • (c) 100 minuti
    • (d) 1000 minuti Soluzione: (a) 
      {
  "aspectRatio": "3:2",
  "xlim": [0, 11.9],
  "ylim": [-9, 109],
  "axisLabels": ["t","V"],
  "data": [
 { "fn": "100-10x" }
  ]
}
  6. PD Il grafico sottostante mostra l’andamento nel tempo dei processi di riempimento di due cisterne (A e B). Le rette rappresentano il volume d’acqua $V$ (espresso in litri) presente in ciascuna cisterna in funzione del tempo trascorso $t$ (espresso in minuti). Individua tra le seguenti l’affermazione errata.
    • (a) Il volume d’acqua iniziale della cisterna B è esattamente il doppio rispetto a quello della cisterna A.
    • (b) Le due rette si intersecano nel punto di coordinate $(4; 30)$, indicando l’istante preciso in cui entrambe le cisterne contengono la stessa quantità d’acqua.
    • (c) La rapidità di variazione del volume della cisterna B è maggiore rispetto a quella della cisterna A, poiché nei primi 4 minuti la sua retta si mantiene costantemente “più in alto” nel grafico.
    • (d) La cisterna A ha una rapidità di variazione pari a $5 \, \text{L/min}$, il che significa che il suo volume cresce più velocemente rispetto a quello della cisterna B. Soluzione: (c) 
      {
  "xlim": [0, 8],
  "ylim": [0, 50],
  "axisLabels": ["t","V"],
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "10+5x", "label": "A" },
 { "fn": "20+2.5x", "color": "black1", "label": "B" }
  ]
}

Problemi

1. Dando i numeri… EE/F Risolvi i seguenti problemi con la tecnica che preferisci, prova però a risolverli anche tramite un’equazione.

  1. Determina tre numeri pari consecutivi sapendo che la loro somma è 66. Soluzione: 20, 22, 24
  2. Determina una frazione equivalente a 5/9, sapendo che la somma di numeratore e denominatore è 70. Soluzione: 25/45
  3. L’età di un alunno è i 5/19 di quella dell’insegnante e insieme hanno 72 anni. Determina le due età. Soluzione: 15 e 57 anni
  4. Il prodotto tra due numeri consecutivi è 156. Quali sono i due numeri? Soluzione: 12 e 13
  5. $2x+1 = 5x + 6$, qual è il valore di $1 - 6x$? Soluzione: 11
  6. La somma di tre numeri dispari consecutivi è 81. Trova i tre numeri. Soluzione: 25, 27, 29
  7. Trova una frazione equivalente a 3/4 sapendo che la differenza tra il denominatore e il numeratore è 15. Soluzione: 45/60

2. Al lume di candela EE Una candela accesa si consuma nel tempo. Di seguito è riportata l’altezza della candela in vari istanti di tempo: 20 cm al tempo 0, 18 cm dopo 20 minuti, 16 cm dopo 40 minuti, 14 cm dopo 60 minuti, eccetera.

  1. Determina la rapidità di variazione dell’altezza della candela.
  2. Quanto misura l’altezza della candela dopo 3 ore? Quanto misura dopo 2 ore e 3 minuti?
  3. Scrivi una relazione che leghi l’altezza $h$ della candela, espressa in cm, con il tempo $t$, espresso in minuti.
  4. Traccia il grafico dell’altezza della candela in funzione del tempo. Soluzione: La candela si consuma di 2 cm ogni 20 min, quindi la rapidità è $-0,1$ cm/min. L’altezza segue la legge $h = 20 - 0,1t$. Dopo 3 ore (180 min) l’altezza è 2 cm, mentre dopo 123 min è 7,7 cm.

3. Fade-out EE/F Un fonico sta terminando il mix di un brano. Il volume della traccia finale è attualmente di 80 dB (decibel). Per chiudere il pezzo, decide di impostare un fade-out lineare che porti il volume a 0 dB (silenzio totale) in un tempo di 5 secondi.

  1. Determina la rapidità di variazione del volume (ovvero di quanti dB varia il volume ogni secondo). Rispondi ai seguenti quesiti.
  2. Scrivi la relazione tra volume $V$ (espresso in dB) e tempo $t$ (espresso in secondi).
  3. Calcola volume della traccia dopo che sono trascorsi 3,2 secondi dall’inizio del fade-out.

Non soddisfatto dell’effetto, modifica il fade-out in modo che la relazione tra volume e tempo sia descritta dall’equazione $V = 80 - 20t$. Rispondi ai seguenti quesiti.

  1. Determina la rapidità di variazione del volume.
  2. Calcola il volume della traccia dopo che sono trascorsi 3,2 secondi dall’inizio del fade-out.
  3. Rispetto al precedente fade-out, la decrescita del volume è più o meno rapida?
  4. Traccia un grafico del due effetti di fade-out. Cosa osservi? Soluzione: Il primo fade-out cala di 16 dB/s ($V = 80 - 16t$), il secondo di 20 dB/s ($V = 80 - 20t$). Quest’ultimo è più rapido e raggiunge il silenzio in 4 secondi invece di 5. Dopo 3,2 secondi i volumi sono rispettivamente 28,8 dB e 16 dB.

4. Il serbatoio forato EE Un serbatoio contiene 500 litri d’acqua. A causa di una piccola crepa, l’acqua fuoriesce a un ritmo costante di 4 litri al minuto.

  1. Determina la rapidità di variazione del volume d’acqua.
  2. Scrivi l’equazione che lega il volume $V$ al tempo $t$ (espresso in minuti).
  3. Quanta acqua rimane dopo 45 minuti?
  4. Quanto tempo impiega il serbatoio a svuotarsi? Risolvi anche tramite un’equazione lineare. Soluzione: Il volume cala di 4 L/min ($V = 500 - 4t$). Dopo 45 minuti rimangono 320 litri. Il serbatoio si svuota completamente ($V=0$) in 125 minuti.

5. Lo scalatore EE Uno scalatore si trova a una quota di 2400 metri e inizia a scendere verso la valle con una velocità verticale costante di 300 metri all’ora.

  1. Scrivi la relazione tra la quota h e il tempo di cammino t (espresso in ore).
  2. A che quota si troverà lo scalatore dopo 2 ore e mezza?
  3. Traccia un grafico della quota in funzione del tempo.
  4. Dopo quanto tempo lo scalatore raggiunge una sosta posta a 1150 metri? Soluzione: La quota segue la legge $h = 2400 - 300t$. Dopo 2,5 ore lo scalatore si trova a 1650 m. Raggiunge la sosta a 1150 m dopo circa 4 ore e 10 minuti ($t = 1250/300 \approx 4,17$ ore).

6. Economia in crescita EE/F Il PIL (Prodotto Interno Lordo) dell’Italia è stato di circa 546 miliardi di euro nel 1988 e 1536 miliardi di euro nel 2007.

  1. Ipotizzando che la crescita sia stata di tipo lineare (l’ipotesi è realistica), quale potrebbe essere stato il PIL negli anni intermedi? Descrivi la crescita con una relazione lineare.
  2. In che anno il PIL italiano ha raggiunto i 1000 miliardi di euro. Soluzione: Ipotizzando una crescita lineare di circa 52,1 miliardi/anno, il PIL ha raggiunto i 1000 miliardi intorno al 1997.

7. Lineare? F+ Nel 2000 in Italia sono state prodotte 4555 migliaia di tonnellate di greggio, mentre nel 2010 ne sono state prodotte 5081.

  1. In assenza di altre informazioni, quale stima puoi fare sulla quantità di greggio prodotto in Italia nel 2005?
  2. Se guardi le statistiche ufficiali, vedrai che in Italia nel 2005 sono state prodotte 6084 migliaia di tonnellate di greggio. Che cosa puoi concludere sull’ipotesi che hai fatto per risolvere il punto precedente?

8. Situazione bollente AD L’altezza della colonnina di mercurio in un termometro da laboratorio varia in funzione della temperatura $T$, secondo la relazione lineare $h = 40 + 2T$, dove $h$ è l’altezza della colonnina (espressa in mm) e $T$ è la temperatura (espressa in gradi centigradi).

  1. Qual è la rapidità di variazione dell’altezza della colonnina di mercurio? Riporta le unità di misura.
  2. Quanto è alta la colonnina di mercurio se la temperatura misura 40°C?
  3. If il termometro è lungo 28 cm, qual è la temperatura massima che può misurare il termometro? Prima di rispondere, converti la lunghezza del termometro il millimetri.
  4. Qual è la temperatura minima misurabile dal termometro?
  5. Traccia il grafico dell’altezza del mercurio in funzione della temperatura. Soluzione: L’altezza varia di 2 mm/°C. A 40°C la colonnina è alta 120 mm. La temperatura massima misurabile (per $h=280$ mm) è 120°C. La temperatura minima teorica (h=0) sarebbe -20°C.

Un termometro da laboratorio, lungo 25 cm, è in grado di misurare temperature da -5°C a 105°C.

  1. Di quanto varia l’altezza della colonnina di mercurio if la temperatura aumenta di 1°C?
  2. Quanto è alta la colonnina di mercurio quando si misura una temperatura di 0°C?
  3. Scrivi la relazione lineare tra altezza della colonnina di mercurio $h$ e temperatura $T$. Soluzione: Per il secondo termometro, la rapidità è di circa $2,27$ mm/°C. A 0°C la colonnina è alta 11,36 mm, seguendo la legge $h \approx 11,36 + 2,27T$.

10. Da Celsius a Fahrenheit PD In Italia per costruire i termometri si usa la scala Celsius, che ha come unità di misura il grado centigrado (°C). Nei paesi anglosassoni si usa una diversa scala termometrica detta Fahrenheit, che ha come unità di misura il grado Fahrenheit (°F). Indicati con C i gradi Celsius e con F i gradi Fahrenheit, la conversione da gradi Fahrenheit a gradi Celsius è data dalla relazione lineare $C = \dfrac{(F-32)}{1.8}$. Nella scala Celsius la temperatura di congelamento dell’acqua alla pressione atmosferica è 0°C. Qual è la temperatura di congelamento dell’acqua in gradi Fahrenheit? Soluzione: 32°F

11. Dilatazione termica AD Quando un corpo viene scaldato, si dilata. La lunghezza di una sbarra di ferro varia in funzione della temperatura, secondo la relazione $L = 1000 + 0,012T$, dove $L$ è la lunghezza espressa in millimetri e $T$ è la temperatura espressa in gradi centigradi.

  1. Spiega il significato di 1000 e 0,012.
  2. Quanto è lunga la sbarra a 0°C?
  3. A che temperatura la sbarra risulterà essere 1% più lunga rispetto alla sua lunghezza a 0°C?
  4. A che temperatura la lunghezza della sbarra raddoppia rispetto alla sua lunghezza a 0°C?
  5. La relazione lineare non è valida per temperature al di sotto di una certa soglia, che varia da materiale a materiale, e, più in generale, per temperature prossime allo zero assoluto (ovvero -273,15°C, ossia zero gradi kelvin 0 K), la minima temperatura possibile. Per il ferro, il modello lineare è una buona approssimazione per temperature superiori a 235 K. Cerca online come convertire i kelvin in gradi centigradi, quindi calcola la lunghezza della sbarra a 235 K. Soluzione: A 0°C la sbarra è lunga 1000 mm. Cresce di 1% (10 mm) a circa 833,3°C. A 235 K ($-38,15$°C) la lunghezza è circa 999,54 mm.

12. Un ponte d’estate D- Anche i ponti stradali si dilatano all’aumentare della temperatura ambientale. Il grafico sottostante mostra come varia la lunghezza totale $L$ di un viadotto (espressa in millimetri) in funzione della temperatura $T$ (espressa in gradi centigradi).

{
  "xlim": [0, 50],
  "ylim": [200000, 200150],
  "axisLabels": ["T","L"],
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  "padding": 30,
  "boxNumbersInside": true,
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    { "fn": "200000+2.4x" }
  ]
}

Rispondi ai seguenti quesiti:

  1. Leggendo il grafico, qual è la lunghezza del ponte quando la temperatura è di 0°C? Esprimi questo valore sia in millimetri che in metri.
  2. Scegliendo un punto del grafico (ad esempio l’intersezione a 50°C), calcola il coefficiente di dilatazione: di quanti millimetri si allunga il ponte per ogni grado centigrado di aumento della temperatura?
  3. Scrivi la relazione lineare tra la lunghezza del ponte $L$ (in millimetri) e la temperatura $T$ (in gradi centigradi).
  4. Sfruttando l’equazione appena ricavata, qual è la lunghezza esatta del ponte in una calda giornata estiva in cui si registrano 34°C?
  5. Di quanto si dilata il ponte in percentuale rispetto alla sua lunghezza iniziale (a 0°C)? Soluzione: Il ponte è lungo 200 m a 0°C e si allunga di 2,4 mm/°C ($L = 200000 + 2,4T$). A 34°C la lunghezza è 200081,6 mm, con una dilatazione dello 0,041%.

13. In una galassia lontana lontana… AD La legge di Hubble-Lemaitre descrive la velocità con cui le galassie si allontanano da noi in base alla loro distanza: $v=Hd$, dove $v$ è la velocità (espressa in km/s), $d$ è la distanza (espressa in Mpc, megaparsec), $H$ è la costante di Hubble (il cui valore è stimato intorno a 72 km/s/Mpc). a) Cerca online il significato di Parsec, quindi spiegalo a parole tue. b) Spiega a parole la relazione lineare $v=Hd$. c) Se la distanza della galassia A è doppia rispetto alla distanza della galassia B, com’è la velocità di allontanamento di A rispetto alla velocità di allontanamento di B? d) Cerca online la galassia più vicina alla nostra, quindi calcola la sua velocità di allontanamento. e) La galassia Sombrero è nota per il suo nucleo brillante e la sua spessa fascia di polvere. Gli astronomi hanno misurato la sua velocità di allontanamento analizzando la luce proveniente dalla galassia, determinando che si muove a circa 1024 km/s rispetto a noi. Determina la distanza della galassia Sombrero da noi. Soluzione: La velocità di allontanamento è direttamente proporzionale alla distanza ($v=Hd$); se la distanza raddoppia, raddoppia anche la velocità. Per la galassia Sombrero ($v=1024$ km/s), la distanza è circa 14,2 Mpc.

14. A spasso per Cuneo PD Lara percorre corso Nizza (Cuneo) a piedi, camminando a velocità costante. Parte dall’incrocio con piazza Galimberti. Dopo 1 minuto transita di fronte alle vetrine di H&M, dopo 3 minuti si trova all’incrocio tra corso Nizza e Via XXVIII Aprile/Via Statuto.

  1. Utilizza lo strumento per misurare le distanze di Google Maps e misura la distanza del negozio H&M e dell’incrocio sopracitato dall’inizio di corso Nizza. Quindi misura la velocità di Lara.
  2. Dopo quanto tempo Lara raggiunge il fondo di corso Nizza? Cerca online la lunghezza di corso Nizza o misurala tramite Google Maps.
  3. Dove si troverà Lara dopo 6 minuti? Cerca su Google Maps un luogo riconoscibile per spiegare dove si trova.

15. Si parte! EE Scrivi la relazione lineare tra numero di iscritti al viaggio di istruzione a Torino, indicato con $N$, e costo totale a carico delle famiglie, indicato con $C$. Utilizza dati reali, stimali se necessario.

  1. A quanto ammonta il costo a carico delle famiglie per due classi di 20 alunni ciascuna?
  2. Costo e numero di partecipanti sono direttamente proporzionali? Spiega.

16. In viaggio per Torino PD- Viaggiando da Cuneo a Torino, l’altitudine decresce in modo pressoché lineare fino a Savigliano.

  1. Cerca online l’altitudine di Cuneo e Savigliano e la distanza che separa le due città.
  2. Calcola la rapidità di variazione dell’altitudine (indicata con la lettera h e misurata in metri sul livello del mare) rispetto alla distanza da Cuneo (indicata con la lettera d e misurata in km).
  3. Scrivi la relazione lineare tra $h$ (altitudine) e $d$ (distanza da Cuneo).
  4. Viaggiando il pullman da Cuneo a Savigliano, a quale distanza da Cuneo ci si troverà all’altitudine di 400 metri sul livello del mare? Indica un luogo riconoscibile lungo il percorso che si trovi a questa altitudine.

17. Una mole di lavoro AD La costruzione della Mole Antonelliana, iniziata nel 1863, non ha seguito un ritmo costante a causa di problemi finanziari e varianti progettuali. Tuttavia, è possibile modellizzare la sua crescita analizzando le diverse fasi di costruzione come relazione lineari separate, dove l’altezza varia in base al trascorrere del tempo.

I lavori iniziano nel 1863 ($t = 0$) partendo da un’altezza di 0 metri. Nel 1869 ($t = \dots$), la costruzione viene sospesa dopo aver raggiunto la quota di 70 metri.

  1. Calcola la rapidità media di costruzione espressa in metri all’anno.
  2. Determina la relazione lineare tra altezza $h$ (espressa in metri) e tempo $t$ (espresso in anni, a partire dal 1863) che descrive questa fase.

Dopo una pausa di quattro anni, il Comune di Torino acquisisce l’edificio. La crescita, nel periodo successivo all’acquisto e fino al 1887, è descritta dalla seguente relazione: $h = 3{,}07t + 70$. Considera $t=0$ come l’anno dell’acquisto da parte del comune.

  1. Calcola in quale anno la Mole ha raggiunto per la prima volta l’altezza di 100 metri.

All’inizio del 1887 la Mole ha raggiunto l’altezza del Tempietto, pari a 113 metri. In questa fase finale, la rapidità di costruzione viene stimata in 25,175 metri all’anno fino al completamento della statua del Genio Alato, in punta, nel 1889.

  1. Scrivi la relazione lineare tra h e t valida per questo intervallo di tempo. Considera l’anno 1887 come $t=0$.
  2. Trova l’altezza raggiunta a metà dell’anno 1888.
  3. Calcola l’altezza della Mole alla fine del 1889 secondo questo modello. Soluzione: Nella prima fase la crescita è di 11,67 m/anno ($h = 11,67t$). Nel 1883 raggiunge i 100 metri. Nell’ultima fase ($h = 113 + 25,175t$) raggiunge i 150,76 m a metà 1888 e circa 188,5 m a fine 1889.

18. Un’aiuola matematica PD Nel giardino della sede dell’Unione Matematici di Borgo Algebra è presente un’aiuola rettangolare, il cui lato maggiore misura 1 metro in più rispetto al lato minore. Al centro dell’aiuola, su una piccola lastra in pietra, è riportata l’area dell’aiuola: 6 metri quadrati. Quanto misurano i lati dell’aiuola? Risolvi il problema con il metodo che preferisci, prova però a risolverlo anche tramite un’equazione. Soluzione: 2 m e 3 m. L’equazione $x(x+1)=6$ porta a $x^2+x-6=0$, le cui soluzioni sono 2 e $-3$ (non accettabile).

19. La batteria dello smartphone EE Alle ore 11:00, uno smartphone ha la batteria al 90%. Durante l’uso intenso, la carica scende del 16% ogni ora.

  1. Determina l’equazione della carica $C$ in funzione del tempo $t$.
  2. Alle 16:45, il livello della batteria sarà sceso sotto la soglia critica del 15%?
  3. Dopo quanto tempo la batteria scende sotto la soglia critica del 15%? Soluzione: La carica segue $C = 90 - 16t$. Dopo 5,75 ore (ore 16:45) la batteria è scarica (0%). Scende sotto il 15% dopo circa 4 ore e 41 minuti.

20. Conto deposito EE Inizi a risparmiare mettendo 150 € in un salvadanaio. Ogni settimana decidi di aggiungere esattamente 15 €.

  1. Qual è la rapidità di crescita dei tuoi risparmi?
  2. Quanti soldi avrai dopo 12 settimane?
  3. Scrivi la relazione tra risparmi R e tempo trascorso t (espresso in settimane)?
  4. Ti basteranno i risparmi per acquistare uno smartphone da 600 € tra 7 mesi?
  5. Dopo quanto tempo accumuli 1400 €? Soluzione: I risparmi seguono $R = 150 + 15t$. Dopo 12 settimane si hanno 330 €. Dopo 7 mesi (circa 30 settimane) si raggiungono i 600 € necessari. Per arrivare a 1400 € servono circa 83 settimane.

21. La temperatura del forno EE Un forno viene spento quando raggiunge la temperatura di 200°C. La temperatura scende linearmente seguendo l’equazione $T = 200 - 5t$, dove $t$ è il tempo in minuti.

  1. Qual è la temperatura dopo 15 minuti?
  2. Qual è la rapidità di variazione della temperatura?
  3. Se un altro forno seguisse l’equazione $T = 200 - 8t$, quale dei due si raffredderebbe più velocemente? Soluzione: La temperatura cala di 5°C/min. Dopo 15 min è a 125°C. Il forno che segue $T=200-8t$ si raffredda più velocemente perché ha una rapidità di variazione maggiore.

 22. Il palloncino meteorologico F Nel grafico è rappresentata l’altitudine di un palloncino meteorologico $H$ (espressa in metri da terra) in funzione del tempo $t$ (espresso in secondi).  1. A che velocità sale il palloncino?  2. Da che altezza è lanciato il palloncino?  3. Scrivi la relazione tra altezza $H$ e tempo $t$.  4. A che altezza si trova il palloncino dopo 2 minuti e 10 secondi dal lancio?  5. Dopo quanto tempo il palloncino raggiunge l’altezza dell’Everest? Soluzione: Il palloncino sale a 5 m/s ($H = 5t$). Dopo 130 secondi è a 650 m. Raggiunge l’altezza dell’Everest (8848 m) in circa 29,5 minuti.

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    { "fn": "5x" }
  ]
}

23. Svalutation, lineare EE Un’auto nuova costa 24000 €. Ogni anno il suo valore diminuisce linearmente di 1700 €.

  1. Scrivi l’equazione del valore V in funzione degli anni t.
  2. Quale sarà il valore dell’auto dopo 6 anni?
  3. Dopo quanti anni l’auto avrà un valore commerciale pari a zero? Soluzione: Il valore cala di 1700 €/anno ($V = 24000 - 1700t$). Dopo 6 anni vale 13800 €. Raggiunge valore zero dopo circa 14 anni.

24. Estate alle porte? EE Una piscina vuota viene riempita con una pompa che ha una portata costante. Dopo 2 ore ci sono 4000 litri d’acqua; dopo 5 ore ce ne sono 10000.

  1. Determina la rapidità di riempimento (litri all’ora).
  2. Scrivi la relazione tra volume $V$ (misurato in litri) e tempo $t$ (misurato in ore).
  3. Dopo quanto tempo la piscina, di capacità massima $60$ metri cubi, viene completamente riempita. Converti prima i metri cubi in litri. Soluzione: La portata è di 2000 L/h ($V = 2000t$). La piscina da 60000 litri si riempie in 30 ore.

25. Atterraggio aereo EE Un aereo si trova a $10000$ piedi di altitudine e inizia la discesa verso l’aeroporto. La sua quota diminuisce seguendo la legge $h = 10000 - 400t$ (il tempo $t$ è misurato in minuti).

  1. Qual è la quota dopo 12 minuti?
  2. Quanto tempo impiega l’aereo per toccare terra (quota 0)? Soluzione: La quota cala di 400 piedi/min. Dopo 12 minuti è a 5200 piedi; tocca terra in 25 minuti.
  3. Traccia un grafico dell’altitudine h in funzione del tempo t.

26. Il viaggio in autostrada PD Un’automobilista entra in autostrada e si posiziona al chilometro 20 della tratta (punto di partenza). Attiva il cruise control mantenendo una velocità costante di 110 km/h.

  1. Determina la velocità dell’auto (espressa in km/h).
  2. Scrivi la relazione tra posizione $s$ (espressa in km) e il tempo $t$ (espresso in ore).
  3. Dove si troverà l’automobilista dopo 4 ore?
  4. Calcola dopo quanto tempo l’automobilista raggiungerà l’area di servizio che si trova al chilometro 295. Soluzione: La posizione è $s = 20 + 110t$. Dopo 4 ore è al km 460. Raggiunge il km 295 in 2,5 ore.
  5. Se un’altra auto seguisse la legge $s = 10 + 130t$, quale delle due auto avrebbe una velocità maggiore?
  6. Dopo quanto tempo le due auto si incontrano? Soluzione: L’auto a 130 km/h è più veloce. Le due auto si incontrano dopo mezz’ora di inseguimento ($t=0,5$ h).

27. Speranza in crescita F+ In media, di quanto è aumentata annualmente la speranza di vita in Italia, per uomini e donne, dal 1960 a oggi? Reperisci online i dati necessari e cerca il significato di speranza di vita se già non lo conosci. Se la speranza di vita continuasse a crescere mediamente nello stesso modo, quando raggiungerà i 90 anni?

28. Dove parcheggio a Torino? F Devi lasciare l’auto a Torino per qualche giorno. Puoi scegliere tra due opzioni: il parcheggio Aurora costa 10€ all’ingresso e 2€ ogni ora. Il parcheggio Bellavista non prevede costi all’ingresso, ma costa 3€ ogni ora.

  1. Quando conviene il parcheggio Aurora? Quando conviene il parcheggio Bellavista?
  2. Dopo quanto tempo le due opzioni si equivalgono?
  3. Se hai a disposizione un budget di 100€, quale parcheggio è più vantaggioso? Soluzione: Bellavista conviene per soste brevi (sotto le 10 ore), oltre conviene Aurora. Con 100 € Aurora permette una sosta più lunga (45h contro 33,3h).

29. Internet a un prezzo ragionevole F Devi cambiare internet provider. Puoi scegliere tra Alfaweb e Betaconnection. Alfa web prevede una tariffa fissa di 8€ al mese per 100 GB di dati e un costo di 2€ per ogni gigabyte che supera la soglia. L’offerta di Betaconnection, invece, prevede un costo di 10€ al mese per i primi 100 GB di dati e un costo di 50 centesimi per ogni gigabyte che supera la soglia.

  1. Quando conviene Alfaweb e quando conviene Betaconnection?
  2. Se scegli Betaconnection e nel mese di gennaio spendi 14€, quanti gigabyte hai utilizzato? Soluzione: Alfaweb conviene fino a circa 101,3 GB. Se si spendono 14 € con Betaconnection, significa che si sono usati 108 GB (10 € fissi + 4 € per 8 GB extra).

30. E luce fu! AD Devi acquistare una nuova lampadina per il bagno di casa. Puoi scegliere tra la lampadina della marca Andromeda e quella della marca Boltbright. Leggendo la scheda tecnica, scopri che la lampadina Andromeda raggiunge istantaneamente una luminosità di 800 lumen appena accesa, dopodiché la sua luminosità aumenta in modo costante di 40 lumen per ogni secondo trascorso. Per la lampadina Boltbright, invece, il produttore fornisce il seguente grafico che illustra come varia la sua luminosità $L$ (in lumen) in funzione del tempo $t$ (in secondi) trascorso dall’accensione.

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  "ylim": [0, 1590],
  "axisLabels": ["t","L"],
  "padding": 40,
  "data": [
    { "fn": "400+110x" }
  ]
}

Rispondi ai seguenti quesiti.

  1. Ricava dal grafico le caratteristiche della lampadina Boltbright: qual è la sua luminosità iniziale ($t=0$) e di quanto aumenta la luminosità ogni secondo?
  2. Scrivi le relazioni lineari che descrivono l’andamento della luminosità in funzione del tempo per entrambi i modelli.
  3. Quanto tempo impiegano le due lampadine a raggiungere la luminosità di 1300 lumen?
  4. Dopo quanti secondi esatti dall’accensione le due lampadine avranno la stessa luminosità? A quanti lumen corrisponderà quel momento? Soluzione: Andromeda parte da 800 lumen e cresce di 40 lumen/s; Boltbright parte da 400 e cresce di 110 lumen/s. Boltbright raggiunge i 1300 lumen più velocemente (8,18s contro 12,5s). Si eguagliano a circa 5,7 secondi.

31. Questione di rischio F+ Devi scegliere tra due possibili investimenti. Il primo, denominato piano A, è più rischioso e offre — in condizioni ottimali — un tasso di interesse massimo del 6%. Il secondo, denominato piano B, è meno rischioso e offre un tasso di interesse massimo del 3%. Dato il rischio, sei disposto/a a investire solo 2000€ tramite il piano A, mentre ti puoi permettere di investire fino a 3500€ tramite il piano B.

  1. Dopo quanto tempo i due piani ti consentono di accumulare il medesimo capitale?
  2. Dopo quanto tempo riesci ad accumulare 4000€ tramite il piano B? Soluzione: I due piani accumulano lo stesso capitale dopo 100 anni. Con il piano B si raggiungono i 4000 € in circa 4,76 anni.

32. Incontri montani F+ Alice inizia la propria camminata verso il rifugio Questa (2388 m s.l.m.) dalle terme di Valdieri (1400 m s.l.m.). Alice percorre un dislivello di 380 metri ogni ora in salita. Nello stesso istante in cui Alice inizia la salita, Bob — che si trova sul monte Malinvern (2931 m s.l.m.) — inizia la propria discesa, diretto alle terme di Valdieri, ricoprendo un dislivello di 500 metri ogni ora sulle stesso sentiero percorso da Alice.

  1. Dopo quanto tempo e a che altitudine Alice e Bob si incontrano?
  2. Dopo quanto tempo Alice e Bob raggiungono rispettivamente la propria destinazione? Soluzione: Si incontrano dopo circa 1,74 ore a quota 2061,2 m. Alice arriva a destinazione in 2,6 ore, Bob in circa 3 ore.

33. Abbonamento in palestra F Decidi di iscriverti in palestra e valuti due opzioni. La palestra “IronFit” offre un abbonamento mensile base di 15€, più 4€ per ogni ingresso. La palestra “GymPro”, invece, non ha alcun costo fisso mensile, ma fa pagare 7€ per ogni singolo ingresso.

  1. Scrivi le due relazioni lineari che descrivono il costo mensile in funzione del numero di ingressi per entrambe le palestre.
  2. Se prevedi di andare in palestra 4 volte in un mese, quale delle due opzioni è più economica?
  3. Qual è il numero esatto di ingressi mensili per cui il costo delle due palestre si equivale? Soluzione: GymPro conviene se si fanno meno di 5 ingressi al mese; a quota 5 i costi si equivalgono (35 €). Con 4 ingressi GymPro costa 28 € mentre IronFit 31 €.
  4. Traccia un grafico che mostri l’andamento dei costi per le due palestre.

34. Cisterne AD Una cisterna da 1500 litri viene svuotata di 70 litri al minuto, mentre una cisterna più piccola da 400 litri viene svuotata di 40 litri al minuto. Se si inizia a svuotare le cisterne nello stesso istante, dopo quanto tempo nelle cisterne ci sarà lo stesso volume di acqua rimanente? Soluzione: Matematicamente dopo circa 36,67 minuti, ma fisicamente la cisterna più piccola si svuota già dopo 10 minuti.

35. Noleggio auto PD Stai organizzando una vacanza e devi noleggiare un’automobile. Il grafico sottostante mostra il costo totale del noleggio $C$ in funzione del numero di giorni $t$ per due diverse compagnie: Autonolo e RentCar.

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  "ylim": [0, 159],
  "axisLabels": ["t","C"],
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  "padding": 30,
  "data": [
    { "fn": "50+10x", "color": "red1", "label": "Autonolo" },
    { "fn": "20x", "color": "black1", "label": "Rentcar" }
  ]
}

Rispondi ai seguenti quesiti.

  1. Qual è il costo fisso iniziale richiesto dalla compagnia Autonolo prima ancora che trascorra il primo giorno di noleggio?
  2. Per quanti giorni di noleggio le due compagnie richiedono esattamente la stessa spesa totale?
  3. Se prevedi di noleggiare l’auto per una vacanza di 8 giorni, quale opzione è la più conveniente e per quale motivo grafico?
    • (a) RentCar, perché non prevede costi fissi iniziali e la retta parte da zero.
    • (b) Autonolo, perché in corrispondenza di $t = 8$ la sua retta si trova “sotto” a quella di RentCar, indicando un costo minore.
    • (c) RentCar, perché la sua retta è più ripida e quindi il risparmio è maggiore nel tempo.
    • (d) Entrambe convengono allo stesso modo per periodi superiori a 5 giorni.
  4. Scrivi le relazioni lineari tra $C$ e $t$ per entrambi gli autonoleggi. Soluzione: RentCar è più economica fino a 5 giorni, poi conviene Autonolo. Per 8 giorni Autonolo costa 130 € mentre RentCar 160 €.

36. La molla PD La lunghezza di una molla elastica dipende dalla massa del peso che vi viene appeso. A riposo (senza alcun peso), la molla è lunga 15 cm. Per ogni chilogrammo di massa appeso, la molla si allunga di 2,5 cm.

  1. Scrivi la relazione tra la lunghezza della molla $L$ (in cm) e la massa applicata $m$ (in kg).
  2. Quanto sarà lunga la molla se le appendi un peso da 4 kg?
  3. Se misuri una lunghezza totale della molla pari a 32,5 cm, qual è la massa del peso che è stato appeso? Soluzione: La molla segue $L = 15 + 2,5m$. Con 4 kg è lunga 25 cm. Una lunghezza di 32,5 cm corrisponde a un peso di 7 kg.

37. Inseguimento in autostrada AD Un camion parte dal casello di Milano alle ore 08:00 viaggiando a una velocità costante di 80 km/h. Alle ore 08:30, un’automobile parte dallo stesso casello, nella stessa direzione, viaggiando a una velocità costante di 120 km/h.

  1. Esprimi in ore il vantaggio temporale del camion rispetto all’automobile.
  2. Scegliendo come istante $t=0$ la partenza dell’automobile, scrivi la relazione tra la posizione $s$ (in km) e le tempo $t$ (in ore) per entrambi i veicoli.
  3. Dopo quanto tempo (dalla propria partenza) l’automobile raggiungerà il camion?
  4. A quanti chilometri dal casello di partenza avverrà il sorpasso? Soluzione: L’auto parte con 30 min di ritardo ma va più veloce ($120$ km/h contro $80$). Raggiunge il camion dopo 1 ora dalla propria partenza, a 120 km dal casello.

38. Produzione energetica PD Nel 2015 un impianto fotovoltaico ha prodotto 450 MWh di energia. Grazie ad alcuni potenziamenti e ottimizzazioni, la produzione è aumentata in modo costante, raggiungendo i 600 MWh nel 2020.

  1. Assumendo un modello di crescita lineare, qual è l’aumento medio annuo di produzione di energia dell’impianto (espresso in MWh/anno)?
  2. Scrivi la relazione che lega l’energia prodotta $E$ (in MWh) agli anni trascorsi $t$ dal 2015 (quindi $t=0$ per il 2015).
  3. Utilizzando questo modello, stima quale sarà la produzione di energia nel 2025. Soluzione: La produzione aumenta di 30 MWh/anno ($E = 450 + 30t$). Nel 2025 ($t=10$) la produzione stimata è di 750 MWh.
Dobbiamo sapere, sapremo! - D. Hilbert