Esercizi sulle disequazioni

Una raccolta di esercizi, quesiti, quiz e problemi sulle disequazioni.

Cosa significano E, F, ecc.? Consulta la [[scala di difficoltà degli esercizi]].

Esercizi

  1. E Risolvi le seguenti disequazioni di primo grado con metodo algebrico e metodo grafico.
    1. $3x - 2 > 0$ Soluzione: $x > 2/3$
    2. $x + \frac 1 5 \leq 3$ Soluzione: $x \leq 14/5$
    3. $6x \geq 3$ Soluzione: $x \geq 1/2$
    4. $x < 2x - 1$ Soluzione: $x > 1$
    5. $x + 1 \geq \frac 2 3 x - 1$ - 1. Soluzione: $x \geq -6$
  2. EE Determina i valori di $x$ per cui $A(x) < B(x)$. Approssima la soluzione. Soluzione: $-1.5 < x < 1{,}1$ circa 
    {
  "xlim": [-2.4,3.4],
  "ylim": [-0.9,2.9],
  "aspectRatio": "2:1",
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "x^2+0.5*x+cos(2*pi*x/2)", "label": "A(x)" },
 { "fn": "-0.1*x^2+0.2*x+2", "color": "black1", "label": "B(x)" }
  ]
}
  3. EE Determina i valori di $x$ per cui $A(x) \geq B(x)$. Soluzione: $x \leq -1 \lor 1 \leq x \leq 3$ 
    {
  "xlim": [-1.9,4.9],
  "ylim": [-5.9,5.9],
  "aspectRatio": "2:1",
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "x-2", "label": "A(x)" },
 { "fn": "x^3-3x^2+1", "color": "black1", "label": "B(x)" }
  ]
}
  4. EE Determina i valori di $x$ per cui $A(x) \leq B(x)$. Soluzione: $-2 \leq x \leq 2$ 
    {
  "xlim": [-5.9,5.9],
  "ylim": [-1.9,4.9],
  "aspectRatio": "2:1",
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "x^2-1", "label": "A(x)" },
 { "fn": "3", "color": "black1", "label": "B(x)" }
  ]
}
  5. EE/F Determina i valori di $x$ per cui $A(x) > B(x)$. Le due curve sono tangenti in $(2, 2)$. Soluzione: $x > -1 \land x \neq 2$ 
    {
  "xlim": [-1.9,2.9],
  "ylim": [-2.9,7.9],
  "aspectRatio": "2:1",
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "x^3-2x^2+2", "label": "A(x)" },
 { "fn": "x^2-2", "color": "black1", "label": "B(x)" }
  ]
}
  6. E Per quali valori di $x$ la parabola rappresentata in figura è positiva? Soluzione: $x < -2 \lor x > 1$ 
    {
  "xlim": [-2.9,2.9],
  "ylim": [-2.4,2.9],
  "aspectRatio": "2:1",
  "data": [
 { "fn": "(x-1)*(x+2)" }
  ]
}
  7. EE Risolvi le seguenti disequazioni di secondo grado.
    1. $x^2 + 5x - 6 \leq 0$ Soluzione: $-6 \leq x \leq 1$
    2. $2x^2 + 2x - 4 \geq 0$ Soluzione: $x \leq -2 \lor x \geq 1$
    3. $4x^2 + x - 2 < 0$ Soluzione: $\frac{-1-\sqrt{33}}{8} < x < \frac{-1+\sqrt{33}}{8}$
    4. $x^2 + 4 \geq 0$ Soluzione: $\forall x \in \mathbb{R}$
    5. $-3x^2 - 2 > 0$ Soluzione: $\emptyset$
    6. $x^2 + 1 \leq 0$ Soluzione: $\emptyset$
    7. $(x - 2)(x + 3) < 0$ Soluzione: $-3 < x < 2$
    8. $(x + 1)^2 \leq 0$ Soluzione: $x = -1$
    9. $-(x - 1)(x - 2) \geq 0$ Soluzione: $1 \leq x \leq 2$
    10. $x^2 - 5x + 6 > 0$ Soluzione: $x < 2 \lor x > 3$
    11. $2x^2 + 3x - 2 \leq 0$ Soluzione: $-2 \leq x \leq 1/2$
    12. $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ Soluzione: $1 \leq x \leq 3$
    13. $x^2 - x - 12 < 0$ Soluzione: $-3 < x < 4$
    14. $x^2 - 16 \geq 0$ Soluzione: $x \leq -4 \lor x \geq 4$
    15. $3x^2 + 12 < 0$ Soluzione: $\emptyset$
    16. $x^2 - 7x < 0$ Soluzione: $0 < x < 7$
    17. $-2x^2 + 5x \geq 0$ Soluzione: $0 \leq x \leq 5/2$
    18. $x^2 - 6x + 9 \leq 0$ Soluzione: $x = 3$
    19. $4x^2 + 4x + 1 > 0$ Soluzione: $x \neq -1/2$
    20. $x^2 + x + 1 > 0$ Soluzione: $\forall x \in \mathbb{R}$
    21. $-2x^2 + 3x - 5 \geq 0$ Soluzione: $\emptyset$
    22. $(x - 1)^2 < 2x(x + 1) - 3$ Soluzione: $x < -2-2\sqrt{2} \lor x > -2+2\sqrt{2}$
    23. $x(x + 5) \geq 2(x^2 - 3)$ Soluzione: $-1 \leq x \leq 6$
    24. $(2x - 1)(x + 3) \leq (x + 2)^2$ Soluzione: $\frac{-1-\sqrt{29}}{2} \leq x \leq \frac{-1+\sqrt{29}}{2}$
    25. $\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x - 1}{3} > 1$ Soluzione: $x < \frac{1-\sqrt{13}}{3} \lor x > \frac{1+\sqrt{13}}{3}$
    26. $x^2 - 4x + 1 > 0$ Soluzione: $x < 2 - \sqrt{3} \lor x > 2 + \sqrt{3}$
    27. $x^2 + 2x - 4 \leq 0$ Soluzione: $-1 - \sqrt{5} \leq x \leq -1 + \sqrt{5}$
    28. $-2x^2 + 6x - 1 \geq 0$ Soluzione: $\frac{3 - \sqrt{7}}{2} \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$
    29. $3x^2 - 5x - 1 < 0$ Soluzione: $\frac{5 - \sqrt{37}}{6} < x < \frac{5 + \sqrt{37}}{6}$
    30. $x^2 - 7x + 5 > 0$ [sol: $x < \frac{7 - \sqrt{29}}{2} \lor x > \frac{7 + \sqrt{29}}{2}$
    31. $\frac{1}{2}x^2 - 3x + 2 \leq 0$ Soluzione: $3 - \sqrt{5} \leq x \leq 3 + \sqrt{5}$
  8. Determina i valori di $x$ per cui $A(x) / B(x) < 0$. Soluzione: $-3 < x < -2 \lor -1 < x < 2 \lor x > 3$ 
     {
   "xlim": [-3.9,3.9],
   "legend": true,
   "data": [
     { "fn": "-.25*(x+2)*(x+1)*(x-3)", "color": "red1", "label": "A(x)" },
     { "fn": "(x+3)*(x-2)", "color": "black1", "label": "B(x)" }
  ]
 }
  9. EE Risolvi le seguenti disequazioni di terzo grado, già fattorizzate.
    1. $(x + 3)(x + 1)(x - 1) < 0$ Soluzione: $x < -3 \lor -1 < x < 1$
    2. $(x - 1)^2(x + 5) \geq 0$ Soluzione: $x \geq -5$
    3. $x(x + 2)(x - 2) > 0$ Soluzione: $-2 < x < 0 \lor x > 2$
    4. $-x(x + 1)(x - 1) < 0$ Soluzione: $-1 < x < 0 \lor x > 1$
    5. $(2x - 1)(x + 1)(x - 1) \geq 0$ Soluzione: $-1 \leq x \leq 1/2 \lor x \geq 1$
    6. $-5(3x - 2)(2x + 3)^2 \leq 0$ Soluzione: $x \geq 2/3 \lor x = -3/2$
  10. EE/F Risolvi le seguenti disequazioni fratte.
    1. $\dfrac{x + 1}{x - 2} < 0$ Soluzione: $x \in (-1, 2)$
    2. $\dfrac{-x + 1}{3x - 6} \geq 0$ Soluzione: $1 \leq x < 2$
    3. $\dfrac{5}{2x + 1} < 0$ Soluzione: $x < -1/2$
    4. $\dfrac{3x + 1}{(x + 1)(x + 3)} \geq 0$ Soluzione: $-3 < x < -1 \lor x \geq -1/3$
    5. $\dfrac{x - 3}{x + 2} > 0$ Soluzione: $x < -2 \lor x > 3$
    6. $\dfrac{x^2 + 4x + 3}{x + 3} > 0$ Soluzione: $x > -1$
    7. $\dfrac{-x + 1}{(x + 1)^2} \geq 0$ Soluzione: $x \leq 1 \land x \neq -1$
    8. $\dfrac{2x + 5}{4 - x} \leq 0$ Soluzione: $x \leq -5/2 \lor x > 4$
    9. $\dfrac{x}{x - 5} < \dfrac{x + 2}{x}$ Soluzione: $x < -10/3 \lor 0 < x < 5$
    10. $\dfrac{x^2 - 9}{x + 1} < 0$ Soluzione: $x < -3 \lor -1 < x < 3$
    11. $\dfrac{x - 4}{x^2 - 5x + 6} \geq 0$ Soluzione: $2 < x < 3 \lor x \geq 4$
    12. $\dfrac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 4x} \leq 0$ Soluzione: $0 < x < 4 \lor x = -1$
    13. $\dfrac{-x^2 + 3x - 2}{x^2 + 4} > 0$ Soluzione: $1 < x < 2$
    14. $\dfrac{x}{x - 1} \leq \dfrac{2}{x + 1}$ Soluzione: $-1 < x < 1$
    15. $\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 2} > \dfrac{4}{x^2 - 4}$ Soluzione: $x > -2 \land x \neq 2$
    16. $2 - \dfrac{x + 3}{x - 1} \geq \dfrac{x}{x + 2}$ Soluzione: $x \leq -5 \lor -2 < x < 1$
    17. $\dfrac{x^2}{x - 3} - x < \dfrac{9}{x - 3}$Soluzione: $\emptyset$
  11. F- Scrivi una disequazione di primo grado che abbia come soluzione $x < -1$. Soluzione: ad esempio $x + 1 < 0$
  12. F Scrivi l’equazione di una parabola ($y = \dotsc$) tangente all’asse $x$ nel punto $(3, 0)$. Soluzione: ad esempio $y = (x - 3)^2$
  13. F Disegna il grafico di una parabola $f(x)$ tale che $f(x) > 0$ per $x < -1 \lor x > 3$, quindi scrivi l’equazione della della parabola (ovvero $y = \dotsc$). Soluzione: ad esempio $y = (x + 1)(x - 3)$
  14. E Disegna il grafico di una funzione $f(x)$ tale che $f(x) \leq 0$ per $x \in [-5, 4] \cup [5, +\infty)$. Soluzione: ad esempio $y = -(x + 5)(x - 4)(x - 5)$
  15. AD Disegna il grafico di una parabola $A(x)$ tale che $A(x) / (x - 2) < 0$ per $x \in (-3, -1) \cup (2, +\infty)$. Soluzione: parabola con concavità verso il basso e zeri in -3 e -1, ad esempio $y = -(x + 3)(x + 1)$
  16. AD Disegna il grafico di una funzione $B(x)$ tale che $A(x) \cdot B(x) > 0$ per $x \in (2, 3)$. Soluzione: ad esempio $B(x) = x(x - 2)$ 
    {
  "aspectRatio": "2:1",
  "xlim": [-4.9,4.9],
  "ylim": [-2.9,2.9],
  "legend": true,
  "data": [
{ "fn": "0.5*x*(x-2)*(x-3)", "color": "red1", "label": "A(x)" }
  ]
}
  17. AD Disegna il grafico di una funzione $B(x)$ tale che $A(x) / B(x) < 0$ per $x < -4 \lor 2 < x < 5$. Soluzione: ad esempio $B(x) = -(x + 2)(x - 2)(x - 5)$ 
    {
  "aspectRatio": "2:1",
  "xlim": [-6.9,6.9],
  "ylim": [-2.9,2.9],
  "legend": true,
  "data": [
{ "fn": "-0.5*(x+4)*(x+2)", "color": "red1", "label": "A(x)" }
  ]
}
  18. EE Osservando il grafico, determina per quali valori di $x$ si verifica che $A(x) \geq B(x)$. Soluzione: $-2 \leq x \leq 1$ 
    {
  "xlim": [-4.9,4.9],
  "ylim": [-3.9,6.9],
  "aspectRatio": "1:1",
  "legend": true,
  "data": [
{ "fn": "-x^2+4", "label": "A(x)" },
{ "fn": "x+2", "color": "black1", "label": "B(x)" }
  ]
}
  19. E Utilizzando il grafico sottostante, determina per quali intervalli di $x$ la condizione $A(x) \cdot B(x) < 0$ è soddisfatta. Soluzione: $x > -1 \land x \neq 1$ 
    {
  "xlim": [-3.9,3.9],
  "ylim": [-4.9,4.9],
  "aspectRatio": "1:1",
  "legend": true,
  "data": [
{ "fn": "x^2-1", "color": "red1", "label": "A(x)" },
{ "fn": "-x+1", "color": "black1", "label": "B(x)" }
  ]
}
  20. F Disegna il grafico di una funzione $f(x)$ tale che $f(x) < 0$ esclusivamente per $x \in (-2, 4)$, quindi scrivi una possibile equazione per questa funzione (es: $y = \dotsc$). Soluzione: ad esempio $y = (x + 2)(x - 4)$
  21. PD Scrivi una disequazione fratta la cui soluzione sia esattamente $x < -1 \lor x \geq 2$. Soluzione: ad esempio $\dfrac{x - 2}{x + 1} \geq 0$
  22. PD+ Determina visivamente per quali valori di $x$ è soddisfatta la doppia disequazione $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$. Soluzione: $x \leq -\sqrt{2} \lor x \geq \sqrt{2}$ 
    {
  "xlim": [-3.9, 3.9],
  "ylim": [-1.9, 5.9],
  "aspectRatio": "1:1",
  "legend": true,
  "data": [
{ "fn": "x^2", "color": "red1", "label": "h(x)" },
{ "fn": "2", "color": "black1", "label": "g(x)" },
{ "fn": "-x^2+3", "color": "black1", "dash": [4,4], "label": "f(x)" }
  ]
}
  23. AD+ Inventa una disequazione fratta (nella forma $\frac{N(x)}{D(x)} \leq 0$) che abbia esattamente come soluzione l’intervallo chiuso $[-2, 5)$ tranne il punto $x = 0$ (ovvero $-2 \leq x < 5$ ma con $x \neq 0$). Soluzione: ad esempio $\dfrac{x + 2}{x^2(x - 5)} \leq 0$

Quiz

  1. EE Quale delle seguenti disequazioni ammette come soluzione $-2 \leq x \leq 1$
    • (a) $(x + 2)(x - 1) \leq 0$
    • (b) $(x - 2)(x + 1) \leq 0$
    • (c) $(x + 2)(x - 1) \geq 0$
    • (d) $(x - 2)(x + 1) \geq 0$ Soluzione: (a)
  2. F+ Quale delle seguenti equazioni ha per soluzione qualunque $x$ appartenente all’intervallo rappresentato in figura?
    • (a) $-2(x - 4)(x + 1) \leq 0$
    • (b) $-2(x - 4)(x + 1) \geq 0$
    • (d) $-2(x + 4)(x - 1) \leq 0$
    • (e) $-2(x + 4)(x - 1) \geq 0$ Soluzione: (d) 
      {
  "xlim": [-10,10],
  "ylim": [-0.5,0.5],
  "aspectRatio": "5:1",
  "showGrid": false,
  "showXTicks": true,
  "gridOpacity": 0,
  "showYAxis": false,
  "showYNumbers": false,
  "data": [
 { "fn": "0", "domain": ["-1*Infinity",-4], "color": "red1" },
 { "fn": "0", "domain": [1,"Infinity"], "color": "red1" },
 { "points": [[-4,0],[1,0]], "color": "red1" }
  ]
}
  3. AD Quali delle seguenti affermazioni relative ai grafici in figura non sono corretta?
    • (a) $A(x) < 0$ per $x \in \mathbb{R} \setminus [-1, 1]$
    • (b) $A(x) \cdot B(x) > 0$ per $x \in (-2, -1) \cup (2, +\infty)$
    • (d) $A(x) > B(x)$ per $x < -1 \lor x > 1$
    • (e) $A(x) \cdot B(x) = 0$ per $x = -2 \lor x = 1 \lor x = 2$ 
      {
  "xlim": [-4.9,4.9],
  "legend": true,
  "legendPosition": "bottom-right",
  "data": [
 { "fn": "(x-1)*(x+1)", "color": "red1", "label": "A(x)" },
 { "fn": "(x-1)*(x-2)*(x+2)", "color": "black1", "label": "B(x)" }
  ]
}

      Soluzione: (a)

  4. AD Quale delle seguenti affermazioni non è corretta?
    • (a) $f(x) \cdot (3 - x) < 0$ per $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 1) \cup (+3, +\infty)$
    • (b) $f(1) = 0$ e $f(2) = 8$
    • (c) $f(x) \cdot (3 - x) \geq 0$ per $x \in (-\infty, 0) \cup (+2, +3)$
    • (d) $f(1) \cdot (3 - x) = 0$ per $\forall x \in \mathbb{R}$ Soluzione: (c) 
      {
  "xlim": [-4.9,4.9],
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "(x-1)*(x+2)*x", "color": "red1", "label": "f(x)" }
  ]
}
  5. E Quale delle seguenti parabole interseca l’asse $x$ in $(-1, 0)$ e $(5, 0)$?
    • (a) $y = (x - 1)(x + 5)$
    • (b) $y = -(x + 1)(x - 5)$
    • (c) $y = x^2 - x + 5$
    • (d) $y = -x^2 + x - 5$ Soluzione: (b)
  6. EE Quale delle seguenti parabole è tangente all’asse $x$?
    • (a) $y = x^2 + 1$
    • (b) $y = x^2 + x$
    • (d) $y = (x + 1)^2$
    • (e) $y = x^2 + x + 1$ Soluzione: (d)
  7. AD Quale delle seguenti funzioni $A(x)$ è tale che $A(x) \geq B(x)$ $\forall x \in \mathbb R$?
    • (a) $y = x^2 + 2x + 1$
    • (b) $y = -x^2 - 2x - 1$
    • (c) $y = (x - 1)^2$
    • (d) $y = -(x - 1)^2$ Soluzione: (a) 
      {
  "xlim": [-3.9,3.9],
  "ylim": [-3.9,3.9],
  "legend": true,
  "data": [
 { "fn": "2x+1", "color": "red1", "label": "B(x)" }
  ]
}
  8. EE Quale delle seguenti disequazioni ammette come soluzione $x \leq -3 \lor x \geq 3$?
    • (a) $x^2 + 9 \geq 0$
    • (b) $x^2 - 9 \leq 0$
    • (c) $x^2 - 9 \geq 0$
    • (d) $(x - 3)^2 \geq 0$ Soluzione: (c)
  9. EE/F Quale delle seguenti disequazioni ha per soluzione qualunque $x$ appartenente all’intervallo rappresentato in figura?
    • (a) $(x + 3)(x - 2) \leq 0$
    • (b) $(x + 3)(x - 2) \geq 0$
    • (c) $(x - 3)(x + 2) \leq 0$
    • (d) $\dfrac{x - 2}{x + 3} \leq 0$ Soluzione: (a) 
      {
  "xlim": [-10,10],
  "ylim": [-0.5,0.5],
  "aspectRatio": "5:1",
  "showGrid": false,
  "showXTicks": true,
  "gridOpacity": 0,
  "showYAxis": false,
  "showYNumbers": false,
  "data": [
 { "fn": "0", "domain": [-3,2], "color": "red1" },
 { "points": [[-3,0],[2,0]], "color": "red1" }
  ]
}
  10. F Osserva la parabola $A(x)$ nel grafico. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?
    • (a) $A(x) \geq 0$ per $x \in [0, 4]$
    • (b) $A(x) / (x - 2) > 0$ per $x \in (2, 4)$
    • (c) L’equazione della parabola potrebbe essere $y = -x^2 + 4x$
    • (d) $A(x) \cdot (x - 4) > 0$ per $x \in (0, 4)$ Soluzione: (d) 
      {
"aspectRatio": "3:2",
"xlim": [-2.9,6.9],
"ylim": [-4.9,4.9],
"aspectRatio": "1:1",
"legend": true,
"data": [
{ "fn": "-x*(x-4)", "color": "red1", "label": "A(x)" }
]
}
  11. AD Per quale delle seguenti funzioni $f(x)^2 > 0$ per $x \in \mathbb R \setminus {3}$?
    • (a) $f(x) = x^2 - 6x + 9$
    • (b) $f(x) = x - 3$
    • (c) $f(x) = 3x + 3$
    • (d) $f(x) = x^2 + 9$ Soluzione: (b)
  12. PD Per quale delle seguenti funzioni $\dfrac{x^2 + 1}{f(x)} \geq 0$ $\forall x \in \mathbb R$?
    • (a) $f(x) = x + 2$
    • (b) $f(x) = x^2 + 2$
    • (c) $f(x) = x^2$
    • (d) $f(x) = x$ Soluzione: (b)
  13. D- Per quale delle seguenti funzioni $\dfrac{x - 1}{f(x)} < 0$ per $x \in (1, 2) \cup (3, +\infty)$?
    • (a) $f(x) = x^2 - 5x + 6$
    • (b) $f(x) = -x^2 + 5x - 6$
    • (c) $f(x) = -x^2 + 4x - 3$
    • (d) $f(x) = x^2 - x - 2$ Soluzione: (b)
  14. D- Quale delle seguenti affermazioni relative alla funzione $g(x)$ rappresentata in figura non è corretta?
    • (a) $g(x) \cdot (x + 1) > 0$ per $x \in (-3, -1) \cup (1, 4)$
    • (b) $g(2) = 5$ e $g(4) = 0$
    • (c) $g(x) \cdot (x + 1) \leq 0$ per $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 4]$
    • (d) $g(-3) \cdot (x^2 + 1) = 0$ per $\forall x \in \mathbb{R}$ Soluzione: (c) 
      {
"xlim": [-4.9, 5.9],
"ylim": [-14.9, 9.9],
"aspectRatio": "1:1",
"legend": true,
"data": [
{ "fn": "-0.5*(x+3)*(x-1)*(x-4)", "color": "red1", "label": "g(x)" }
]
}

Problemi

1. Caccia all’errore F+ Uno studente risolve la disequazione fratta $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} > 3$ in questo modo:

“Scompongo il numeratore in $(x - 2)(x + 2)$. Semplifico il fattore $(x - 2)$ sopra e sotto. Mi rimane $x + 2 > 3$, quindi la soluzione è $x > 1$.”

Questo procedimento è sbagliato. Spiega a parole perché il ragionamento dello studente è scorretto e fornisci la soluzione esatta. Soluzione: Lo studente ha ignorato le condizioni di esistenza. Semplificando $(x-2)$ bisogna imporre $x \neq 2$. La soluzione corretta è $x > 1 \land x \neq 2$.

2. Il parametro misterioso D+ Considera la famiglia di parabole descritte dall’equazione $y = x^2 + kx + 9$, dove $k$ è un numero reale incognito. Trova per quali valori di $k$ l’intera parabola si trova completamente al di sopra dell’asse delle ascisse (ovvero $x^2 + kx + 9 > 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$). Soluzione: $-6 < k < 6$

3. Il tuffatore F+ L’altezza $h$ (in metri) rispetto al livello dell’acqua di un tuffatore che si lancia da un trampolino è descritta dalla legge

$$ h(t) = -5t^2 + 4t + 12 \, , $$

dove $t$ è il tempo trascorso in secondi dal momento del salto. Scrivi e risolvi la disequazione che ti permette di scoprire per quale intervallo di tempo il tuffatore si trova a più di 9 metri di altezza. Soluzione: $-5t^2 + 4t + 3 > 0$, da cui considerando $t \geq 0$ si ricava $0 \leq t < \frac{2+\sqrt{19}}{5}$

4. Reverse engineering grafico PD Osserva il grafico qui sotto, che rappresenta i costi $C(n)$ e i ricavi $R(n)$ di una piccola azienda in migliaia di euro, in funzione dei prodotti venduti ($n$). Scrivi le due funzioni, imposta la disequazione per trovare la zona di utile (cioè dove i ricavi superano i costi) e indicane la soluzione osservando il grafico. Soluzione: $C(x) = x^2+1$, $R(x) = 3x$; $3x > x^2+1 \Rightarrow \frac{3-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

{
  "xlim": [0, 5],
  "ylim": [0, 15],
  "aspectRatio": "3:2",
  "boxPlot": true,
  "axisLabels": ["n","(k€)"],
  "legend": true,
  "padding": 50,
  "data": [
    { "fn": "x^2+1", "color": "red1", "label": "Costi C(x)" },
    { "fn": "3x", "color": "black1", "label": "Ricavi R(x)" }
  ]
}

5. La città ideale D- Il governatore di una provincia dell’antichità ha ricevuto dall’imperatore un budget sufficiente per costruire esattamente 4000 metri di mura difensive. Il suo obiettivo è fondare una nuova città e racchiudere all’interno delle mura la massima area possibile per ospitare i campi coltivati e le abitazioni.

Il suo capo architetto gli propone di costruire la città a forma di quadrato perfetto, sostenendo che sia la forma più regolare e capiente. Il governatore, però, ha studiato i testi dei matematici greci e conosce la disuguaglianza isoperimetrica, secondo cui per un dato perimetro $L$ e un’area $A$ vale sempre la relazione:

$$ L^2 \geq 4\pi A $$
  • Calcola l’area della città se venisse costruita a forma di quadrato con i 4000 metri di mura.
    1. Utilizzando la disuguaglianza isoperimetrica, calcola l’area massima assoluta che i 4000 metri di mura potrebbero racchiudere. Quale forma geometrica permette di raggiungere questo limite?
    2. Senza usare i dati del problema, dimostra algebricamente tramite la disuguaglianza che, per un qualsiasi perimetro $L$ prefissato, l’area di un quadrato ($A_q$) sarà sempre strettamente minore dell’area di un cerchio ($A_c$).
Dobbiamo sapere, sapremo! - D. Hilbert